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Comprimento do arco de curvas polares

Neste vídeo, mostramos a fórmula do comprimento do arco polar, e explicamos por que ela é verdadeira.

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Transcrição de vídeo

RKA1JV Neste vídeo, quero chegar à fórmula para o comprimento do arco de uma curva definida em coordenadas polares. Se essa curva bem aqui é "r" igual a f(θ), como vamos descobrir o comprimento da curva entre dois θ? Digamos entre θ igual a, neste caso, entre θ zero radianos e π sobre 2 radianos. Mas também entre qualquer fronteira de rθ. Se a qualquer momento, você ficar animado ou inspirado, eu aconselho você a pausar o vídeo e continuar o cálculo do comprimento do arco na forma polar. Esse problema vai ser abordado da mesma maneira que olhamos o comprimento do arco em coordenadas retangulares padrão. Vamos cortar uma pequena seção do comprimento do arco, aqui eu vou ampliar. Vamos chamar esse bem aqui, esse é o nosso infinitésimo, é o nosso trecho infinitesimal. Nosso pedaço do comprimento de arco, vou chamá-lo de "ds". Obviamente, esse é maior do que posso imaginar quando penso em infinitesimal, mas se integrar todos os "ds", você terá o comprimento da curva que você deseja. Assim podemos dizer que o comprimento será todos esses "ds" integrados, a soma de todos os infinitamente pequenos "ds". Agora, para colocar de modo que se relacione em termos de "r" e θ, vou primeiro relacionar com "x" e "y". E, em seguida, relacionar os θ com "x" e "y" que vimos antes, quando convertemos de forma polar para forma retangular. Sabemos que esse "ds" será igual a uma variação infinitesimal em x². Esta é a nossa variação no comprimento do arco. Mas essa distância bem aqui seria a nossa variação em "x", vou escrever como o "dx", estou escrevendo tudo como diferenciais que é um pouco matematicamente irregular. Mas lhe dará uma boa compreensão conceitual de onde isso vem. Eu poderia, sendo um pouco mais preciso, tomar Δx, eventualmente tomar limites e tal. Mas eu vou apenas usar isso porque faz mais sentido para o meu cérebro. Então, essa é a variação em "x", a partir desse ponto até esse ponto. E essa é a variação em "y", a partir desse ponto até esse ponto. Então, "dy". Isso já foi visto quando validamos a fórmula para o comprimento do arco em coordenadas retangulares. Nós podemos dizer que "ds" vai ser igual à raiz quadrada de dx² mais dy². Isso vem do teorema de Pitágoras. Se pudermos integrá-los, então, estamos no mesmo lugar, mas como escrever em função de "r" e de θ? Para isso, apenas temos que lembrar como é "x" em função de "r" e como é "y" em função de "r" e θ. Nós sabemos que "x" será igual a "r" cosseno de θ. Isso foi visto pela primeira vez quando começamos a relacionar coordenadas polares e retangulares. E "y" será igual a "r" seno de θ, e agora podemos usar isso para escrever "dx" e "dy". "dx" vai ser igual, nós temos que lembrar que "r" é em função de θ, portanto, deixe-me escrever dessa maneira. Assim, podemos escrever como f(θ) vezes o cosseno de θ, "y" é igual a f(θ) vezes o seno de θ. Então, o "dx" vai ser, aplicando a regra do produto, temos f'(θ), derivada da primeira vezes a segunda, vezes cosseno de θ, mais a derivada da segunda. Derivada do cosseno de θ é menos seno de θ, menos seno de θ vezes a primeira. Então f(θ), que era apenas a regra do produto, e o nosso "dx", então, temos o dθ. Outra maneira de abordar seria tratar as diferenciais como números. Dividindo ambos os lados por dθ. Obtendo a derivada de "x" com respeito a θ igual a este termo aqui. Então, são sentenças equivalentes. O mesmo vale para "dy". Novamente, pela regra do produto, "dy" será igual a f'(θ) vezes o seno de θ, tudo isso mais f(θ) vezes a derivada do seno de θ. Que, na verdade, é cosseno de θ. Para descobrir "ds", temos que fazer a soma dos quadrados de "dx" e "dy". Vamos lá. dx² será, só precisamos elevar ao quadrado e, em seguida, multiplicar por dθ². De modo que isso aqui será igual, então, isso vai ser igual a f'(θ)², cosseno² de θ, menos 2 vezes o produto de f'(θ) e f(θ), cosseno θ, seno θ. Então, f(θ)², seno² de θ. Então, isso aqui é dx². Naturalmente, nós temos dθ, mas então temos dθ² e vamos descobrir o que é dy². Então dy² quadrado vai ser igual, antes que eu me esqueça, esse "dy" vai ter um dθ no final, não posso esquecer disso. E o mesmo aqui. Será f'(θ)², seno² de θ, mais 2 vezes o produto disso aqui. f'(θ), f(θ), eu sei que é um pouco complicado, mas voltaremos logo aqui, vai limpar bem. f(θ), cosseno θ, cosseno θ, seno de θ. Em seguida, o quadrado disso aqui mais f(θ)², cosseno² de θ, em seguida, dθ². Agora vamos juntar esses dois. Então, vamos adicioná-los e onde vamos chegar? Assim, se somarmos os quadrados de dx² mais dy², isso vai ser igual, aqui nós temos o cosseno² de θ vezes f'(θ)² e seno² de θ vezes é f'(θ)². E nós podemos fatorar isso, nós podemos fatorar f'(θ)², então, vou escrever aqui. f'(θ)² vezes o cosseno, seno² de θ, mais o seno² de θ. O legal aqui é que nós podemos simplificar isso aqui, isso aqui vai ser igual a 1. Se olharmos para esses termos do meio aqui, veremos que um é o oposto do outro, Esse aqui é o negativo desse outro. Então, podemos simplesmente cancelar os dois. Novamente, nesse último termo aqui, nós podemos fatorar, então, vamos fatorar esse f(θ)². Vamos escrever + f(θ)² vezes o seno² de θ, mais o cosseno² de θ; Novamente, isso aqui pode ser simplificado. Isso aqui é igual a 1. Então, temos, em seguida, esse dθ² vezes tudo isso aqui. Tudo isso aqui será multiplicado por dθ². Você quase pode vê-los como coeficientes do dθ² e adicionamos esses dois coeficientes. Agora fica bem claro, simplificando dx² mais dy². Isso vai ser igual a, vai ser igual a f'(θ)². A gente tem θ², mais f(θ)², e tudo isso vezes o dθ². Deixe-me fazer isso em uma cor diferente acabei fazendo da mesma cor, deixe-me trocar aqui, magenta, tudo isso vezes dθ². Nós sabemos que o "ds" vai ser a raiz quadrada disso, então, vamos reescrever. O "ds" vai ser igual à raiz quadrada disso que, por sua vez, vai ser igual a, aqui podemos fatorar a raiz quadrada de dθ². Podemos apenas tirar esse, e ficamos com, nós vamos ficar f'(θ)² mais f(θ)². E pegando dθ², e tirando-o do radical, vai ficar apenas dθ. Vamos escrever aqui dθ. Se nós quiséssemos integrar, digamos, integrar aqui, aqui e aqui. Digamos a partir do θ inicial, que é alfa, até o θ final, que é beta. Assim, nós demos uma justificativa razoável, uma compreensão conceitual, da fórmula para o comprimento do arco usando a forma polar. Se você tiver "r" igual a f(θ) e determinar f'(θ) ou você poderia pensar nisso como a derivada de "r" em relação a θ², somado a f(θ)². Tomar a raiz quadrada e depois integrar em relação a θ, de alfa até beta. Temos o nosso comprimento de arco bem aqui. Nos próximos vídeos, usaremos essa fórmula.