Exemplo resolvido: comprimento de arco paramétrico

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos resolver um exercício a respeito de comprimento de arco paramétrico. Digamos que nós temos aqui uma função x(t) = cos(t) e uma função y(t) = sen(t). E nós queremos encontrar o comprimento da curva de t = 0 até t = π/2. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente descobrir isso sozinho, com base na fórmula que vimos na aula passada. Ok, vamos lá. A primeira coisa é relembrar a fórmula de comprimento de arco paramétrico. O comprimento da curva é igual à integral de t =a até t = b da raiz quadrada da derivada de x(t)² mais a derivada de y(t)², vezes dt. E que também pode ser escrito como a integral de "a" até "b" da raiz quadrada de (dx/dt)², mais (dy/dt)², vezes dt. Agora sim, nós podemos pegar estas informações e substituir nesta fórmula. Olhando para esta função, dx/dt vai ser igual à derivada de cos(t), que é -sen(t), e dy/dt vai ser igual à derivada em relação a "t" de sen(t), que é igual a cos(t). Agora sim, nós podemos substituir estas informações na fórmula para calcular o comprimento da curva. E aí nós vamos ficar com a integral de zero até π/2, isso porque o comprimento da curva deve ser de t = 0 até t = π/2. Então, a integral da raiz quadrada de (dx/dt)², ou seja, disto aqui ao quadrado, que vai ser a mesma coisa que sen²(t) isso porque todo número elevado ao quadrado fica positivo, e somamos com (dy/dt)², que neste caso é cos²(t). E ainda tem um dt aqui. E sabemos que isto é a relação fundamental da trigonometria, ou seja, sen²(t) + cos²(t) = 1. Isto vai ser igual à raiz quadrada de 1, que vai dar 1. Portanto, vamos ficar com o integral de zero até π/2 de 1dt. Isto vai ser igual a "t". E podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo de zero até π/2. Fazendo isso, nós vamos pegar π/2 e substituir aqui, ficando com π/2. E subtraímos isso pegando este zero e substituindo aqui, ficando com -0. E claro, isto é igual a π/2. Agora vamos pensar no porquê disso fazer muito sentido. Deixe-me colocar esta curva em um plano cartesiano aqui. Eu tenho aqui o eixo "x" e o eixo "y". Observe que a curva vai de t = 0 até t = π/2. E, se substituirmos t = 0 aqui, nós vamos ficar com o cosseno de zero, que é 1. Portanto, 1 está aqui. E o seno de zero vai dar zero, ficando com o ponto bem aqui. Ou seja, o ponto inicial, onde t = 0. E, à medida que você vai caminhando por esta curva, você chega aqui em t = π/2. Você pode olhar para esta curva como o comprimento de um arco. Ela é 1/4 desta circunferência aqui. E sabemos que o comprimento de uma circunferência é 2πr. Considerando, neste caso, o raio igual a 1, 1/4 desta circunferência vai ser igual a π/2. Portanto, todo este cálculo aqui levou a um comprimento que faz bastante sentido, não é? Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!