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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 4
Lição 1: Comprimento de arco: curvas paramétricasComprimento do arco de uma curva paramétrica
Introdução conceitual à fórmula do comprimento do arco de uma curva paramétrica.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos estudar o comprimento
do arco de uma curva paramétrica. Vamos dizer que nós vamos traçar uma curva
onde a coordenada "x" e a coordenada "y" são funções de um terceiro parâmetro "t". Então, podemos escrever "x", ou seja, "x" é uma função de "t" e o "y" também. E claro, se você não lembra disso, eu sugiro que dê uma pesquisada nos vídeos de equações paramétricas da Khan Academy
antes de prosseguir. OK, vamos pensar em algo geral aqui
a respeito dessas curvas paramétricas. Vamos dizer que aqui nós temos
o nosso eixo e vamos calcular o comprimento
de uma curva que começa em t = a, portanto este ponto
vai ser o (x(a), y(a)), indo até t = b, e este vai ser o ponto (x(b), y(b)). O que queremos saber
é o comprimento desta curva. Para descobrir isso,
vamos pensar no que acontece com mudanças bem pequenas em "t". E, para representar essa mudança, eu posso colocar um ponto aqui e digamos que vamos andar
até este outro ponto. Isso representa uma mudança
pequena em "t". Mas, claro, uma mudança bem menor
do que esta. Eu só coloquei um pouco mais afastado
senão você não ia ver a diferença, mas é uma mudança bem pequena mesmo aqui. Mas o que queremos
é encontrar este comprimento. Mas, de qualquer forma,
vamos calcular esse comprimento. Nós podemos decompor isto
nas direções "x" e "y". Na direção "x", nós vamos ter
uma mudança bem pequena, que eu posso chamar de dx. Isto vai ser igual à mudança de "x"
em relação a "t", vezes a mudança em "t". Isso nada mais é do que
uma mudança bem pequena. É a noção de "derivada". E dx/dt é a mesma coisa
que a derivada em "t" vezes dt. Na mudança de "y",
nós vamos ter a mesma ideia, ou seja, uma mudança bem pequena
em relação a "y", que podemos chamar de dy. Isso vai ser igual à derivada de "y"
em relação a "t" vezes dt, que é igual à derivada de "y" em "t" dt. Com isso em mente,
como podemos calcular este comprimento? Basicamente, podemos utilizar
o teorema de Pitágoras. Ou seja, isto vai ser igual
à raiz quadrada dx² + dy². E isto vai ser igual à derivada
de "x" em "t" vezes dt, ao quadrado, mais a derivada de "y" em "t"
vezes dt, ao quadrado. Será que podemos simplificar isto
um pouco mais? Lembre-se: este aqui é um comprimento
muito pequeno. É um comprimento infinitesimal. E nós podemos fatorar o dt². Reescrevendo isso, colocando aqui a raiz, eu vou fatorar esse dt² e aí vamos ficar com: (dt)², que multiplica (x'(t))², mais (y'(t))². Claro, o dt² está multiplicando
toda esta expressão. E como esse dt² está dentro do radicando, nós podemos tirá-lo para fora da raiz. E aí vamos ficar
com a raiz quadrada de (x'(t))², mais (y'(t))². E claro, o dt está aqui fora, mas eu posso
colocá-lo para este lado aqui. Isto aqui é este comprimento,
que é bem pequeno. Mas, para nossa sorte,
no cálculo existem algumas ferramentas na qual nós podemos somar essas mudanças
infinitesimais pequenas. E uma dessas ferramentas
é a integral definida por dois pontos. Ou seja, nós podemos somar este comprimento
com este comprimento, com este, com este... São mudanças bem pequenas e que podem ser somadas
com uma integral em relação a "t". E claro, os limites de integração
dessa integral vão ser t = a e t = b, de t = a até t = b. Esta é a fórmula de comprimento de arco
de uma curva paramétrica. E nos próximos vídeos nós vamos usá-la
para resolver alguns exercícios. Eu espero que esta aula tenha te ajudado
e até a próxima, pessoal!