Comprimento do arco de uma curva paramétrica

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos estudar comprimento do arco de uma curva paramétrica vamos dizer que nós vamos traçar uma curva onde a nossa a coordenada x e a nossa a coordenada Y são funções de um terceiro parâmetro de então podemos escrever sim ou seja fiz é uma função de ter e o y também e claro se você não lembra disso Eu sugiro que você deu uma pesquisada nos vídeos de equações paramétricas da quem academia antes de prosseguir Ok vamos pensar em algo geral aqui a respeito dessas curvas paramétricas vamos dizer que aqui nós temos o nosso eixo e vamos calcular o comprimento de uma curva começa em ti igual a a portanto esse ponto vai ser o x de ar e o y día indo até t = b e e a fazer o ponto x de b e y de b e o que queremos saber é o comprimento nessa curva para descobrir isso vamos pensar no que acontece como mudanças bem pequenas Inter e para representar essa mudança eu posso colocar um ponto aqui e digamos que vamos andar até esse outro ponto isso representa uma mudança pequena em ter mais claro uma mudança bem menor do que essa né Eu só coloquei um pouco mais afastado senão você não ia ver a diferença mas é uma mudança bem pequena mesmo aqui mas o que queremos encontrar esse comprimento né mas de qualquer forma vamos calcular esse comprimento nós podemos decompor isso nas direções x e y na direção x nós vamos ter uma mudança bem pequena que eu posso chamar de deixe isso vai ser igual a mudança de X em relação a t v a dança em ti isso nada mais é do que uma mudança bem pequena né é a noção de derivada e deixe de ti é a mesma coisa que a derivada em ter vezes de ter e na mudança de y nós vamos ter a mesma ideia ou seja uma mudança bem pequena em relação à Y que podemos chamar de y Isso vai ser igual a derivada de y em relação a ter vezes de ter que é igual a derivada de y em ti de ti e com isso em mente Como podemos calcular esse comprimento aqui basicamente podemos utilizar o teorema de Pitágoras ou seja isso vai ser igual à raiz quadrada de de x ao quadrado mais de y ao quadrado Isso vai ser igual a derivada de x em ti de t ao quadrado mais a derivada de y em ti de T AL e será que podemos simplificar isso um pouco mais lembre-se esse aqui é um comprimento muito pequeno é um comprimento infinitesimal e note que podemos fatorar o de t ao quadrado e reescrevendo isso colocando aqui a minha raiz eu vou faturar esse de t ao quadrado e aí vamos ficar com de t ao quadrado que multiplica x linha de t ao quadrado mais Y linha de t ao quadrado Claro o de t ao quadrado está multiplicando toda essa expressão e como esse de t ao quadrado está dentro do radicando nós podemos tirar ele para fora da Raí e aí vamos ficar com a raiz quadrada de seis linha de ter ao quadrado mais Y linha de t ao quadrado e claro o DT está aqui fora mas eu posso colocar ele para esse lado aqui é isso aqui é esse comprimento que é bem pequeno mas para nossa sorte no cálculo Existem algumas ferramentas na qual nós podemos somar essas mudanças infinitas e mais pequenas e uma dessas ferramentas é a integral definida por: ou seja nós podemos somar esse comprimento com esse comprimento com esse com esse tão mudanças bem pequenas e que podem ser somadas com uma integral em relação até e claro os limites de integração dessa integral vai ser t = a e t = be the T = até ter Igual AB essa aqui é a fórmula de comprimento de arco de uma curva para métrica e nos próximos vídeos nós vamos resolver alguns exercícios utilizando ela eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal