Movimento planar (com integrais)

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos conversar a respeito de movimento planar e vamos falar disso com integrais. Para isso, nós temos o seguinte aqui: uma partícula se movendo no plano xy tem o vetor velocidade dado por: v(t) = (1/(t + 7)t⁴), para "t" maior ou igual a zero. Em t = 1, a partícula está no ponto (3, 4). Qual é a magnitude do deslocamento da partícula entre t = 1 e t = 3? E qual é a posição da partícula em t = 3? E claro, aproxime a resposta para uma casa decimal. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Inicialmente, o que queremos saber é o deslocamento em "x", ou seja, a mudança em "x". Com isso, conseguimos encontrar o deslocamento em "y". Depois que fizermos isso, conseguiremos utilizar o teorema de Pitágoras para descobrir a magnitude do deslocamento total. E, se soubermos a mudança em "x" e a mudança em "y", basta somarmos 3 ao "x" e 4 ao "y" para saber a posição da partícula em t = 3. Ok, vamos lá. A primeira coisa que temos que descobrir é a variação de "x", que é igual à integral de 1 a 3 da função da taxa na direção "x". Ou seja, essa vai ser a velocidade "x" em função do tempo. Então, a integral de 1 sobre (t + 7) dt vai ser igual a o quê? Se quiser, você pode fazer substituição u.du aqui. Você pode fazer isso pensando que a derivada de (t + 7) é 1. Então, você coloca 1 aqui e faz a substituição u.du. Mas você também pode lembrar que a integral disto aqui é ln do módulo do denominador, que é t + 7. E avaliamos isso de 1 a 3. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, nós pegamos este 3 e substituímos aqui no lugar do "t", ficando com ln 10. E subtraímos isso pegando este 1 e substituindo aqui no lugar do "t". Então, menos ln 8. E, se aplicarmos a propriedade de logaritmo, isto vai ser igual a ln 10/8. Eu fiz isso porque podemos dividir 10 por 8, ficando com ln 1,25. E claro, eu posso utilizar a calculadora para encontrar esse logaritmo natural, mas já vou fazer isso. Primeiro, eu vou calcular a variação em "y". Isso vai ser à integral de 1 até 3 da componente "y", que é t⁴, dt. E a integral de t⁴ é igual a (t⁵/5). E avaliamos isso de 1 até 3. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, nós pegamos este 3 e substituímos no lugar do "t", ficando com 3⁵, que é igual a 243, dividido por 5. Subtraímos isso substituindo 1 aqui no lugar do "t", ficando com 1⁵, que é a mesma coisa que 1. Então, menos 1/5. E, se resolvermos isso, vamos ficar com 242/5, que é igual a 48,4. Agora nós podemos utilizar uma calculadora para achar o valor aproximado deste logaritmo. Deixe-me abrir a minha calculadora aqui. Coloco 1,25 e vou em ln, que é o logaritmo natural. E dá aproximadamente 0,22, já que estamos trabalhando com duas casas decimais. Então, aproximadamente 0,22. E, conhecendo a variação de "x" e a variação de "y", nós conseguimos responder a esta segunda pergunta. Simples: nós pegamos a nossa posição em t = 1 e adicionamos a respectiva mudança, ou seja, vai ser o 3 mais a mudança em "x" e o 4 mais a mudança em "y". Isso vai ser igual a 3 + 0,22, que dá 3,22, e 4 + 48,4, que dá 52,4. Claro, mas só respondemos à segunda pergunta. Ainda falta a primeira. O teorema de Pitágoras vai nos ajudar a responder isso. Deixe-me colocar um plano cartesiano aqui para entendermos isso melhor. Eu coloco o ponto inicial, que é (3, 4). E aí colocamos a variação na direção "x" que é de 0,22, e também a variação no eixo "y", que é de 48,4. E, para somarmos esses vetores, nós pegamos este aqui e colocamos na pontinha deste, e colocamos este vetor, que vai ser a magnitude de todo o deslocamento. Note que temos um triângulo retângulo. Para descobrir esta magnitude, podemos utilizar o teorema de Pitágoras. Se fizermos isso, vamos ficar com a raiz quadrada da variação de "x" ao quadrado mais a variação de "y" ao quadrado. Vamos ficar com 0,22² + 48,4². E, se utilizarmos a calculadora... Vou colocar na calculadora aqui... Eu vou colocar 0,22² mais 48,4². E extraímos a raiz quadrada, que é aproximadamente 48,4, já que queremos aproximar para uma casa decimal. Então, isto é aproximadamente 48,4, que é a resposta da nossa primeira pergunta: 48,4. E você percebeu uma coisa interessante? Que o deslocamento final é a mesma coisa da mudança em "y"? A razão para isso é que a mudança em "y" foi exatamente 48,4, enquanto o deslocamento foi ligeiramente superior a 48,4. A razão para isso é que nós arredondamos essa magnitude para a casa decimal mais próxima. E, porque a variação em "x" é pequena, essa variação em "y" não vai ser tão grande comparada à magnitude total. Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!