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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 4
Lição 3: Área: regiões polares (curva única)Exemplo resolvido: área delimitada pelo cardioide
Área delimitada por cardioide.
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Transcrição de vídeo
RKA14C Aqui nós temos uma
figura interessante que chama-se cardioide,
porque se parece com um coração. O que nós queremos saber é qual é a área (A) contida
dentro dessa figura. Nós sabemos que a área nas
coordenadas polares que temos vai ser 1/2 da integral
do ângulo α até o β do r² vezes dθ. Ele deu o nosso raio
em função do cosseno de θ. Ou seja, A = 1/2... Vezes a integral de quê? Ele partiu do ponto zero,
deu a volta, e voltou depois
de uma volta completa. Ou seja, 2π. Portanto, a integral é
de zero até 2π de r². Quem é r²?
Vai ser (1 - cosθ)² vezes dθ. Agora vamos abrir aqui.
Temos: A = 1/2 ∫ 0 até 2π do quadrado do primeiro menos 2 vezes
o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo,
vezes dθ. Parece que integral é fácil, mas esta aqui
não é tão fácil. Mas podemos aplicar uma
propriedade trigonométrica, em que temos:
cos² θ = 1/2 (1 + cos 2 θ), em relação ao dobro do arco. Portanto, ficamos com: A = 1/2 ∫ de 0 até 2π de 1 - 2 cos θ mais... Vamos abrir logo
os parênteses, fica: 1/2 + 1/2 cos 2θ vezes dθ. Agora podemos integrar,
nós temos 1/2 de... Bem, aqui é θ. Este aqui vai ficar: -2 senθ. Aqui, nós temos θ/2. E aqui vai integrar cos 2θ... Vamos fazer sen 2θ. Só que, quando você deriva sen 2θ, dá 2 cos 2θ, portanto, vamos somar 1/4 sen 2θ. Se você derivar isso, volta a ter 1/2 cos 2θ. Isso variando de 0 até 2π. Portanto, nossa área
fica sendo igual a... Ora, sen 2π com sen 0
é igual a 0. Aqui também dá 0. Nós temos 1/2 (2π + 2π/2) - 0. Portanto, aqui vamos ficar com: 2π + π = 3π. 3π vezes 1/2... Vamos ficar com a área de 3π/2. E finalizamos!