Exemplo resolvido: área entre dois gráficos polares

RKA2G - Nós temos dois gráficos polares aqui: r = 3senθ e r = 3cosθ. O que queremos é achar a área sombreada em azul. Isso é como uma sobreposição destes dois círculos. Eu recomendo que você pause o vídeo e pense um pouco sobre isso. Estou assumindo que você já tentou. O que é interessante aqui é que isto está claramente delimitado por dois gráficos polares diferentes e parece que eles interceptam bem aqui. Se olharmos atentamente aqui, parece que eles estão se interceptando quando θ = π/4. Podemos verificar isso. O cosseno de π/4 é a mesma coisa que o seno de π/4. Então, é verdade que estas duas coisas serão iguais. Assim, o ponto de intersecção acontece quando θ = π/4. E, caso isto não fosse tão óbvio, você poderia igualar estes dois entre si e descobrir, dos tetas, onde isso realmente aconteceu. Mas isto está ficando mais claro: isto é θ = π/4. A ideia aqui é perceber que, para θ estando entre zero e π/4, estamos delimitados pelo círculo vermelho. Estamos delimitados por r = 3senθ. E, continuando de π/4 para π/2, estamos delimitados pelo círculo preto, por r = 3cosθ. Então, precisamos quebrar a área em duas regiões. Esta primeira área já sabemos que será 1/2 vezes a integral definida de zero a π/4 do que estamos delimitados: 3senθ, e vamos elevar ao quadrado. (3senθ)² dθ. Esta é a região laranja. Acho que você poderia dizer que a região azul será 1/2 vezes a integral definida de π/4 até π/2 de (3cosθ)² vezes dθ. É esta região bem aqui. O que você pode ter percebido é que eles terão a mesma área. Estas duas circunferências são simétricas ao redor desta linha. θ = π/4, portanto, eles vão ter a mesma área. Um coisa que podemos fazer é resolver por um destes e dobrar. Assim, teremos a região total que queremos. A área total, você pode verificar se quiser, mas eu só vou dizer a área total. Eu só vou dobrar isto aqui. A área total, se eu dobrar isto, apenas a expressão laranja. Terei a integral definida de zero até π/4 de 3², que é 9, sen²θ dθ. Você pode calcular isto à mão ou pela calculadora. Vamos calcular isto analiticamente. sen²θ é a mesma coisa que 1/2 vezes (1 - cos2θ). Essa é uma identidade trigonométrica que vimos muito na aula de trigonometria. Na verdade, vou escrevê-la aqui. sen²θ é igual a 1/2 vezes (1 - cos2θ). Se substituirmos isto com isto, obteremos... Vamos tirar o 1/2 daqui e obteremos 9/2, vezes a integral definida de zero até π/4 de (1 - cos2θ) dθ. Isto será igual a: 9/2, a antiderivada de 1 é θ, cos2θ será -sen2θ/2 Na verdade, deixe-me reescrever isto. Vou reescrever desta forma: -1/2sen2θ. Você pode fazer a substituição em um e fazer desta forma, mas assim você pode fazer de cabeça, pode verificar que a derivada do sen2θ será 2cos2θ. Você multiplica isto por -1/2 e obterá -1. Então, vamos calcular isto em π/4 e em zero. Se você calcular isto em zero, tudo isto será zero. Então, precisamos calcular isto para π/4. Isso será igual a 9/2, vezes π/4, menos 1/2sen2, vezes π/4, que é π/2. Então, senπ/2. E nós sabemos que senπ/2 = 1. Já vamos escrever isto, é igual a 1. Então, isto será igual a 9/2, vezes π/4, menos 1/2, ou podemos dizer π/4 menos 2/4. Podemos escrever desta forma ou multiplicar tudo. Ou, ainda, dizer que isto será igual a 9π, menos 18, sobre 8. E nós terminamos!