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Exemplo solucionado: como encontrar uma solução específica para uma equação separável

Resolução de uma equação diferencial separável, dadas as condições iniciais. Neste vídeo, a equação é dy/dx=2y² com y(1)=1.

Transcrição de vídeo

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos encontrar uma solução específica de uma equação diferencial separável E para isso nós temos a seguinte equação diferencial a derivada de y em relação a x = 2 que multiplica y ao quadrado e vamos dizer que o gráfico de uma solução particular passe pelo. 1 - 1 e o que eu quero te perguntar é quanto vale Y quando X = 3 e claro eu sugiro que você pode o vídeo e tente resolver isso sozinho a chave para esse exercício é transformar Essa é a equação em uma equação diferencial separável e a chave para essa equação diferencial separável é como o nome já diz é separar os x-2y e como podemos fazer isso bem deixa eu reescrever a equação aqui e você pode Em ambos os membros da equação por DX E com isso você pode cancelar esse 10x com esse E aí vamos ficar como de y = 2 y ao quadrado vezes deixes e agora Podemos dividir ambos os membros dessa equação por 2 y ao quadrado e ajeitar ficando com meio que multiplica Y elevado a menos 2 que multiplica de y = DX isso porque nós cancelamos esse dois y ao quadrado com esse e agora nós podemos integrar ambos os membros da equação nesse lado esquerdo nós vamos ter que é integral de y elevado a menos de dois nós somos um que vai dar menos um e dividimos por menos um e ajeitando vamos ficar com menos meio que multiplica Y elevado a menos 1 o integral de DX x e somamos isso com uma constante e nessa parte eu posso multiplicar ambos os membros dessa equação por menos dois e aí eu vou ficar com um sobre y porque eu já investi isso aqui = - 2x + ser claro eu poderia colocar aqui menos dois ser também mas como é uma constante arbitrária eu posso simplesmente colocar mais cedo não vai fazer diferença nenhuma e preste atenção se um sobre y = isso então Y = 1 sobre menos 2X mais ser ou seja essas duas coisas são inversas uma da outra Agora sim nós podemos utilizar o ponto que foi dado para descobrir a constante ser então substituindo o ponto nós vamos ter o y que é - 1 = 1 sobre - 2x que é um então - 2 eu fiz um mais cê E aí vamos ficar com - 1 = 1 sobre menos de dois mais cedo e se aplicarmos o produto cruzado vamos ficar com menos um que multiplica menos dois C + C que a mesma coisa que 2 - ser que é igual a um colocando aqui nós podemos subtrair ambos os membros dessa equação por menos dois ficando com menos C = 1 - 2 que dá menos um e se multiplicarmos ambos os membros da equação por menos um vamos ficar com C = 1 então uma solução particular dessa equação diferencial é y = 1 sobre menos 2X mais um mais essa não é a resposta da nossa pergunta ou seja eu não quero saber qual é a solução particular o que eu quero saber é quanto vale o y quando X = o ou seja o y vai ser igual a 1 sobre - 2 x 3 que vai dar menos seis mais um que vai ser igual a menos 15 Essa é a resposta da nossa pergunta e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal