If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:10:08

Transcrição de vídeo

nós já vimos que quando resolvemos equações diferenciais nós podemos ter um caso de ter uma derivada de y em relação à x sendo igual a y e também sabemos uma condição inicial em que o y para o x igual a zero vai se igual a uma solução particular dessa equação diferencial com essa condição inicial vai ser o y dx igual a elevado x inclusive nós temos aqui o gráfico que representa essa função y igual a ele x inclusive nós podemos até colocar essa função é que não usando essa notação de função gente pode dizer y é igual aí e levado à x beleza ok é essa aqui é uma equação diferencial que a gente consegue resolver com uma certa facilidade aqui nós podemos perceber que é uma equação diferenciável então basta fazer o processo de separação depois calcular a integral e resolvendo todo o processo a gente vai chegar a essa solução particular aqui mas nem todas as equações diferenciais são tão fáceis de resolver e aí o que nós podemos fazer nesse casos atualmente nós temos os computadores que podem fazer diversos cálculos e eles podem utilizar diversos métodos numéricos para resolver as equações diferenciais de uma forma que não seja analítica de uma forma que não seja fazendo isso aqui esses métodos numéricos possibilitam realizar uma simulação e chegar a um resultado muito próximo da função esperada e pra gente começar aqui a brincar com essas ideias eu vou utilizar o método numérico fazendo uma aproximação através do valor de x do valor de y e da derivada de y em relação à x como se a gente fosse fazer um campo de inclinações então pensando nisso eu vou fazer uma tabela que eu vou colocar aqui o xis aqui o y e aqui o de y de x sempre que a gente vai utilizar o método de se a gente precisa buscar a nossa solução particular em nós sabemos que para x igual a zero os vamos te y igual aí levado a 0 e todo o número elevado a 0 é igual a um certo pra gente realizar esses métodos a gente precisa ter algo por onde começar ea gente vai ter essas condições é que iniciais para a gente começar um x igual a zero nós sabemos que y é igual ao oe de y dx é igual a y conforme vimos aqui y valle o então de y dx é igual a um beleza então sabemos é que no x igual a zero nós vamos ter um y igual a um certo ea gente também vai ter uma reta tangente aqui com uma inclinação igual a um beleza e o próximo passo a fazer é começar a realizar aproximações e para realizar aproximações a gente vai considerar um certo intervalo aqui em relação ao eixo x por exemplo a gente pode considerar que a gente tem um delta x sendo igual a 1 então a gente vai considerar intervalos com valores iguais a um sim a gente vai considerar intervalos com valores iguais é um exemplo mas delta x que um vai ser igual a 1 agora por outro lado como é que a gente vai encontrar o valor de y agora vem a partir desse primeiro ponto desses resultados que a gente vai conversar realizar novas aproximações eu sei que aqui nesse ponto zero a gente tinha uma reta tangente tendo uma inclinação igual a 1 não é bem se a nossa inclinação aqui vale um e eu tô alterando o meu x até um pra gente ter uma inclinação igual a um eu tenho que alterar o meu y também um afinal 1 / 11 é igual nós vamos ter um y igual a 2 x igual nós vamos ter o y igual a dois mais ou menos aqui então a gente vai ter essa reta tangente com inclinação um vindo até aqui beleza a partir do 2 qual vai ser o nosso próximo intervalo novamente a gente vai trabalhar com esse intervalo delta x igual a gente vai fazer isso daqui direto só que ao chegar nesse ponto a gente vai ter uma nova inclinação aqui nesse ponto o qual vai ser essa nova inclinação essa nova inclinação vai cdy de x e conforme vimos de y dx é igual a y então a gente vai ter aqui uma inclinação sendo igual a 2 então nesse próximo intervalo que a nossa inclinação vai ser um pouco maior que nasçam igual a 2 ou seja no próximo intervalo a gente vai ter essa inclinação igual a 2 próximo intervalo vai de x igual a um até x igual a um mais um é igual a 2 então nosso próximo que vai ser esse xis igual a 2 e qual o seu valor de y quando x foi igual a 2 se eu tenho é que agora que a minha inclinação é igual a 2 e eu aumentei o meu x em um pra gente tem uma inclinação igual a dois é preciso aumentar o meu y en 2 então dois mais dois é igual a quatro então aquilo x igual a 2 nós temos um y igual a 4 então a nossa reta vai vim aqui partindo aqui do x igual a 1 e vindo até o x igual a 2 com uma inclinação igual a 2 chegando à partida que a gente vai ter que ter uma nova inclinação certo qual vai ser essa nova inclinação essa nova inclinação vai ser de y dx que é igual a yy igual a 4 então de y dx é igual a quatro então a partir desse ponto a gente vai ter uma inclinação igual a 4 então vamos observar aqui o nosso próximo intervalo o nosso próximo intervalo vai ser 2 mais 12 mais um é igual a 3 então y vai ser igual a quanto se eu tenho uma inclinação agora igual a 4 e eu aumentei o meu x em um eu preciso aumentar o meu y en 4 afinal de contas 4 / um é igual a quatro então y aqui quando x é igual a 3 vai ser igual a oito então aqui a gente vai ter esse conta que três mais ou menos aqui então a gente vai ter essa reta que ligando esses dois pontos no ato em que apesar de ter uma semelhança com essa curva aqui ela está bem distante à medida que a gente for aumentando vai ficando cada vez mais distante aí você vai falar poxa professor isso daqui não se aproximou em nada dessa curva vamos pegar e desistir não agora que é a hora de você pegar e fala olha vou conseguir fazer isso e pra fazer isso qual é a primeira coisa que vem à sua mente bem aqui a gente utilizou delta x igual a um certo que tal se a gente diminuir se o valor desse delta x desse intervalo que tal se ao invés de um a gente utilizasse um sobre dois ou seja 0,5 vamos ver o que acontece se a gente fizer isso vamos fazer uma nova tabela que a gente vai ter x y de y de x e utilizar as mesmas idéias vamos utilizar as mesmas idéias aqui agora vamos começar aqui do x igual a zero nós já sabemos que no x igual a zero a gente tem um y igual a 1 eo y deixe sendo igual a y mas também vamos ter uma inclinação igual então a inclinação é que no início é a mesma tá igual a 1 só que agora ao invés de utilizar 0 nós vamos ter um delta x igual a 0,5 x mais 0,5 é igual a 0,5 qual vai ser o valor de y aqui agora bem eu tenho meu x 0,5 tudo bem se eu aumentei o meu x em 0,5 pra eu ter uma inclinação igual a um eu preciso ter um y aumentando em 0,5 então mais 0,5 é igual a 1,5 então voltei aqui no x 1 x igual a 0,5 ou y é igual a 1,5 então vai vir mais ou menos até esse ponto é que eu sei que tá meio bagunçados a brincadeira mas ele é levemente aqui em cima tudo bem enquanto que vai ser a nossa inclinação agora y dx não é igual a y a gente também vai ter aqui 1,5 aumentando agora 0,5 aquilo x nós vamos ter x igual a 1 porém a nossa inclinação é 1,5 não é pra que eu tenho uma inclinação igual a 1,5 e eu aumentei aqui 0,5 eu preciso aumentar aqui nesse y algo igual a 0,75 então aumentando 0,75 aquino y nós vamos ter 1,5 mais 0,75 que é igual a 2,25 então aqui no x igual a um nós temos aqui o 2,25 também mais ou menos aqui reparou que agora a gente tem uma aproximação maior a essa curva isso porque a gente diminuir o nosso intervalo ao invés de usar delta x igual a um agente utilizou delta x igual a 0,25 e se você diminuir esse delta x ainda mais por exemplo usar 0,1 ou quem sabe 0,0001 você ainda teria uma aproximação ainda maior então por mais que você não consiga resolver analiticamente uma equação diferencial já que você pode encontrar com ações diferenciais as vezes que são muito complicadas de resolver é possível utilizar esse método numérico fazendo diversas aproximações inclusive a gente até diz que normalmente quando você faz isso no computador você não está realmente obtendo a função mas sim uma simulação daquela função que dependendo do caso vai se ajustar muito bem aos dados que você já possui esse é o método que pode ser utilizado em diversas equações diferenciais inclusive isso é a base de diversos outros métodos e mesmo que você não consiga utilizar esse método em alguma equação diferencial provavelmente os outros métodos vão utilizar esse mesmo princípio não realizará aproximações utilizando um método numérico para chegar algo muito próximo a função que nós queremos mas existe um nome para esse método sim esse método é chamado método de oller e ele foi desenvolvido por um matemático chamado leonard olha e como eu falei esse método apesar de não ser utilizado em todas as equações diferenciais pelo menos ele já dá uma idéia de como é que você vai utilizar o método numérico para chegar algo muito próximo a solução de uma equação diferencial no próximo vídeo nós vamos ver um exemplo de aplicação desse método de óleo então até o próximo vídeo