Método de Euler

RKA4JL - Já vimos que quando resolvemos equações diferenciais nós podemos ter um caso de ter uma derivada de y em relação a x sendo igual a y e também sabemos uma condição inicial em que o y, para o x igual a zero, vai se igual a 1. Uma solução particular dessa equação diferencial com essa condição inicial vai ser o y(x) igual eˣ , inclusive nós temos aqui o gráfico que representa essa função y igual a eˣ. Nós podemos até colocar essa função aqui não usando essa notação de função. A gente pode dizer que y é igual a eˣ. Esta aqui é uma equação diferencial que a gente consegue resolver com uma certa facilidade. Aqui nós podemos perceber que é uma equação diferenciável, então basta fazer o processo de separação, depois calcular a integral e resolvendo todo o processo a gente vai chegar a essa solução particular aqui. Mas nem todas as equações diferenciais são tão fáceis de resolver. E o que nós podemos fazer nesse caso? Atualmente nós temos os computadores que podem fazer diversos cálculos e podem utilizar diversos métodos numéricos para resolver as equações diferenciais de uma forma que não seja analítica, de uma forma que não seja fazendo isso aqui. Esses métodos numéricos possibilitam realizar uma simulação e chegar a um resultado muito próximo da função esperada. Para a gente começar a brincar com essas ideias, eu vou utilizar o método numérico fazendo uma aproximação através do valor de x, do valor de y e da derivada de y em relação a x, como se a gente fosse fazer um campo de inclinações. Pensando nisso eu vou fazer uma tabela aqui. Eu vou colocar aqui x, aqui y e aqui dy sobre dx. Sempre que a gente for utilizar um método desse, a gente precisa buscar a nossa solução particular. Nós sabemos que para x igual a zero nós vamos te y igual a e⁰ . E todo o número elevado a zero é igual a 1, certo? Para a gente realizar esses métodos, a gente precisa ter algo por onde começar. A gente vai ter essas condições iniciais para começar. No x igual a zero nós sabemos que y é igual a 1 e dy sobre dx é igual a y, conforme vimos aqui. E y vale 1. Então dy sobre dx é igual a 1. Sabemos que no x igual a zero nós vamos ter um y igual a 1 e a gente também vai ter uma reta tangente aqui com uma inclinação igual a 1, beleza? O próximo passo a fazer é começar a realizar aproximações. Para realizar aproximações, a gente vai considerar um certo intervalo em relação ao eixo x. Por exemplo, a gente pode considerar que tem um Δx sendo igual a 1. Então a gente vai considerar intervalos com valores iguais a 1. Se a gente vai considerar intervalos com valores iguais a 1, zero mais Δx, que é 1, vai ser igual a 1. Agora, por outro lado, como é que a gente vai encontrar o valor de y agora? A partir desse primeiro ponto desses resultados que a gente vai começar a realizar as nossas aproximações. Eu sei que aqui nesse ponto zero a gente tinha uma reta tangente tendo uma inclinação igual a 1. Se a nossa inclinação aqui vale 1 e eu estou alterando o meu x até 1, para a gente ter uma inclinação igual a 1, eu tenho que alterar o meu y também em 1. Afinal 1 dividido por 1 é igual a 1. Nós vamos ter y igual a 2. x igual a 1 nós vamos ter y igual a 2, mais ou menos aqui. Então a gente vai ter essa reta tangente com inclinação 1 vindo até aqui. A partir do 2, qual vai ser o nosso próximo intervalo? Novamente a gente vai trabalhar com esse intervalo Δx igual a 1, a gente vai fazer isso daqui direto. Só que ao chegar nesse ponto a gente vai ter uma nova inclinação neste ponto. Qual vai ser essa nova inclinação? Essa nova inclinação vai dy sobre dx e conforme vimos, dy sobre dx é igual a y. Então a gente vai ter aqui uma inclinação sendo igual a 2. Então nesse próximo intervalo a nossa inclinação vai ser um pouco maior, inclinação igual a 2, ou seja, no próximo intervalo a gente vai ter essa inclinação igual a 2. E o próximo intervalo vai de x igual a 1 até x igual a 1 mais 1 que é igual a 2, então nosso próximo vai ser esse x igual a 2. Qual vai ser o valor de y quando x for igual a 2? Se eu tenho aqui, agora, que a minha inclinação é igual a 2 e eu aumentei o meu x em 1, para a gente ter uma inclinação igual a 2 eu preciso aumentar o meu y em 2, então 2 mais 2 é igual a 4. Então aqui no x igual a 2 nós temos um y igual a 4. Portanto, a nossa reta vai vir aqui, partindo do x igual a 1 e vindo até o x igual a 2 com uma inclinação igual a 2. Chegando a partir daqui, a gente precisa ter uma nova inclinação, certo? Qual vai ser essa nova inclinação? Essa nova inclinação vai ser dy sobre dx, que é igual a y, e y igual a 4. Então dy sobre dx é igual a 4. Então a partir desse ponto a gente vai ter uma inclinação igual a 4. Então vamos observar o nosso próximo intervalo. O nosso próximo intervalo vai ser 2 mais 1. 2 mais 1 é igual a 3, então y vai ser igual a quanto? Se eu tenho uma inclinação agora igual a 4 e aumentei meu x em 1, eu preciso aumentar meu y em 4. Afinal de contas, 4 dividido por 1 é igual a 4. Então y, quando x é igual a 3, vai ser igual a 8. Então a gente vai ter esse ponto aqui, 3... Mais ou menos aqui. Então a gente vai ter essa reta aqui ligando esses dois pontos. Notem que apesar de ter uma semelhança com essa curva aqui, ela está bem distante. À medida que a gente for aumentando vai ficando cada vez mais distante. Você vai falar: "Poxa, professor, isso aqui não se aproximou em nada dessa curva. Vamos desistir"? Não. Agora que é a hora de você falar: "Olha, vou conseguir fazer isso". Para fazer isso, qual é a primeira coisa que vem à sua mente? Aqui a gente utilizou Δx igual a 1, certo? Que tal se a gente diminuísse o valor desse Δx, desse intervalo? Que tal se ao invés de 1 a gente utilizasse 1 sobre 2, ou seja, 0,5? Vamos ver o que acontece se a gente fizer isso? Vamos fazer uma nova tabela onde a gente vai ter x, y, dy sobre dx e vamos utilizar as mesmas ideias. Vamos utilizar as mesmas ideias aqui agora. Vamos começar do x igual a zero. Nós já sabemos que no x igual a zero a gente tem um y igual a 1 e o dy sobre dx sendo igual a y nós também vamos ter uma inclinação igual a 1. Então a inclinação aqui no início é a mesma, é igual a 1. Só que agora, ao invés de utilizar zero, nós vamos ter um Δx igual a 0,5. x mais 0,5 é igual a 0,5. Qual vai ser o valor de y agora? Eu tenho meu x em 0,5, tudo bem? Se eu aumentei meu x em 0,5, para ter uma inclinação igual a 1 eu preciso ter um y aumentando em 0,5. Então 1 mais 0,5 é igual a 1,5. Vou ter aqui x igual a 0,5 e y igual a 1,5. Então vai vir mais ou menos até esse ponto aqui. Eu sei que está meio bagunçada essa brincadeira, mas ele é levemente aqui em cima, tudo bem? E quanto vai ser a nossa inclinação agora? dy sobre dx não é igual a y? Então a gente também vai ter aqui 1,5. Aumentando, agora, 0,5 aqui no x nós vamos ter x igual a 1, porém a nossa inclinação é 1,5, não é? Para que eu tenha uma inclinação igual a 1,5 e eu aumentei aqui 0,5, eu preciso aumentar aqui nesse y algo igual a 0,75. Então aumentando 0,75 aqui no y nós vamos ter 1,5 mais 0,75, que é igual a 2,25. Então aqui no x igual a 1 nós temos 2,25. Ele vem mais ou menos aqui. Reparou que agora a gente tem uma aproximação maior a essa curva? Isso porque a gente diminuiu nosso intervalo. Ao invés de usar Δx igual a 1, a gente utilizou Δx igual a 0,25. E se você diminuísse esse Δx ainda mais, por exemplo usasse 0,1 ou quem sabe 0,0001, você teria uma aproximação ainda maior. Então por mais que você não consiga resolver analiticamente uma equação diferencial, já que você pode encontrar equações diferenciais que às vezes que são muito complicadas de resolver, é possível utilizar esse método numérico fazendo diversas aproximações. Inclusive a gente até diz que normalmente, quando você faz isso no computador, você não está realmente obtendo a função, mas sim uma simulação daquela função que, dependendo do caso, vai se ajustar muito bem aos dados que você já possui. Esse é o método que pode ser utilizado em diversas equações diferenciais, inclusive isso é a base de diversos outros métodos e mesmo que você não consiga utilizar esse método em alguma equação diferencial provavelmente os outros métodos vão utilizar esse mesmo princípio, vão realizar aproximações utilizando um método numérico para chegar a algo muito próximo à função que nós queremos. Mas existe um nome para esse método? Sim. Esse método é chamado Método de Euler e foi desenvolvido por um matemático chamado Leonard Euler. Como eu falei, esse método, apesar de não ser utilizado em todas as equações diferenciais, pelo menos já dá uma ideia de como você vai utilizar o método numérico para chegar a algo muito próximo da solução de uma equação diferencial. No próximo vídeo nós vamos ver um exemplo de aplicação desse método de Euler. Então até o próximo vídeo!