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Exemplo solucionado: solução exponencial de uma equação diferencial

A solução da equação diferencial geral dy/dx=ky (para algum valor de k) é C⋅eᵏˣ (para algum valor de C). Veja como isso foi derivado e usado para encontrar uma solução específica de uma equação diferencial.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar falando a respeito de equações diferenciais, e vamos ver que a função exponencial pode ser solução de muitas equações. Por exemplo, nós temos aqui a equação dy/dx = 3y. E queremos uma solução particular quando x = 1 e y = 2. E eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. E a primeira coisa que nós temos que fazer aqui é resolver esta equação, que é uma equação diferencial separável. O que significa isso? Significa que nós conseguimos separar de um lado o "dy" e o "y", e do outro o "x" e o "dx". E eu posso fazer isso dividindo ambos os membros da equação por "y", e multiplicando ambos os membros por "dx". Com isso, eu vou ficar com 1/y dy = 3 dx. Agora, sim, nós separamos "y" e "dy" em um lado, e separamos o "dx" do outro. Claro que a equação não tem um "x" explícito aqui, mas se tivesse, eu também colocaria deste lado. E para resolver esta equação, eu posso integrar ambos os membros dela. E qual é a antiderivada de 1/y? É "ln" do módulo de "y". Então, aqui "ln" do módulo de "y" é a integral de 1/y. Isso porque a derivada de "ln" do módulo de "y" é igual a 1/y. E qual é a integral desta constante em relação a "x"? É 3x mais uma constante "C", porque temos uma integral indefinida. E vamos analisar esta igualdade? Note que nós podemos reescrevê-la como uma potência, basta aplicarmos a definição de logaritmo natural. E, com isso, o módulo de "y" vai ser igual a "e" elevado a 3x + C. E, claro, como nós temos uma base elevada a uma soma, nós podemos reescrever isso como "e" elevado a 3x vezes "e" elevado a "C". E como aqui nós temos uma constante elevada a outra constante, o resultado disso vai ser outra constante, que eu posso chamar de "C" também, mas deixando claro que o valor deste "C" é diferente deste. E, claro, eu só estou fazendo isso porque eu quero conhecer a estrutura da solução geral. Então, isso vai ser igual a "C" que multiplica "e" elevado a 3x. E, claro, aqui nós temos que o módulo de "y" é igual a C vezes "e" elevado a 3x. O que nos diz que nós temos que aplicar a definição de módulo. Então, o "y" é igual a "C" vezes "e" elevado a 3x, ou "-y" é igual a "C" vezes "e" elevado a 3x. E se multiplicarmos esta equação por -1, nós vamos ficar com y = -C vezes "e" elevado a 3x. Claro, eu não sei qual é o valor de "C", se é positivo ou se é negativo, por isso que eu abri em dois casos. Mas nós vamos escolher esta equação aqui. Ou seja, vamos assumir que o "C" seja positivo. E o "y" é igual a 2 quando o "x" é igual a 1. Deixe-me rescrever isto aqui. Então, 2 = C vezes "e" elevado a 3, porque 3 vezes 1 dá 3. E se eu dividir ambos os membros desta equação por "e" elevado a 3, nós vamos ter aqui 2 vezes "e" elevado a -3, porque eu já inverti o "e" elevado a 3 aqui, igual a "C". E agora que o encontramos, podemos substituir nesta solução geral para encontrar a solução particular. Então, vamos ter "y" igual a 2 vezes "e" elevado a -3, vezes "e" elevado a 3x. E como aqui nós temos uma multiplicação de potências com a mesma base, nós podemos repetir a base e somar os expoentes. Então, eu vou ter 2 vezes "e" elevado a 3x - 3. Esta aqui é a solução particular para esta equação diferencial separável. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!