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Modelos exponenciais e equações diferenciais (Parte 2)

Dada a solução geral P=Ceᵏᵗ e as condições P(0)=100 e P(50)=200, encontramos a solução de um problema de modelagem exponencial.

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Transcrição de vídeo

RKA14C No último vídeo, vimos um modelo de crescimento populacional. Vimos que, se temos um modelo de crescimento populacional a certa taxa que seja proporcional a "P", chegamos ao crescimento populacional igual a uma constante vezes "e" elevado a uma constante vezes o tempo, que foi dado em dias. Ou seja, essa é uma função exponencial. Vamos colocar neste vídeo um exemplo prático. Por exemplo, no instante "t = 0", vamos supor que a população seja igual a 100. Pode ser 100 mosquitos, 100 pessoas... Pode ser qualquer população de 100. E supor que no instante "t = 50" dias, essa população tenha dobrado, tenha ido para 200 pessoas, insetos, bactérias, o que quer que seja. Ora, vamos primeiro calcular quem é a constante "C". Depois, vamos calcular quem é constante "K". Quando a população é de 100, nós vamos ter que... A população sendo 100, ela é igual a: constante "C" vezes "e" elevado a "k" vezes o tempo, que é zero. Ora, "k" vezes zero é igual a 0. E "e⁰" é igual a 1. Portanto, nós deduzimos que "C = 100". Agora, para a segunda etapa, nós vamos ter que a população é igual à constante, que agora já sabemos que é igual a 100, vezes "eᵏᵗ", e "t", no caso, é 50. A população também foi dada como sendo 200. Portanto, nós temos que 200 é igual a: "100 vezes e⁵⁰ᵏ". Podemos simplificar por 100 em ambos os lados. Vamos ter que: "2 = e⁵⁰ᵏ". Tirando o logaritmo de ambos os lados, nós vamos ter que o logaritmo natural (ln) de 2 é igual a... O que significa o logaritmo natural de um determinado número "z" qualquer igual a "x"? Significa que "eˣ = z". Ora, se "eˣ = z", quem é "x"? O "x" é logaritmo do "z". Se tivermos "eˡⁿᶻ", esse vai ser o próprio "z". Voltando aqui para a nossa equação, nós temos que "ln" de "e⁵⁰ᵏ" vai ser "50k". Portanto, nossa constante "k" vai ser: "ln2 / 50". Podemos já escrever a nossa equação! A nossa equação geral fica sendo: a população é igual a constante, que é 100, vezes "eᵏ", que é "ln2 / 50", vezes o tempo. Podemos ainda mexer nisto aqui. Isso já é uma resposta, uma vez que "ln2 / 50" é um número. Então, isso tudo está em função do tempo. Podemos escrever a mesma resposta de outra forma. Ou seja, a população de 100... Utilizando a propriedade do expoente, nós temos "eˡⁿ²", "t / 50". Mas quem é "eˡⁿ²"? É 2. Portanto, temos que: "P = 100 vezes 2⁽ᵗ / ⁵⁰⁾". E terminamos!