Exemplo resolvido: problema de modelo logístico

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos resolver um exercício de modelo Logístico E para isso nós temos a seguinte aqui a população PDT de bactérias em uma placa de petróleo satisfaz a equação diferencial logística dpdt igual as 2px 6 - p sobre oito mil onde T é medido em horas EA população Inicial é de 700 de bactérias Qual é a capacidade de suporte da população e qual é o tamanho da população quando está crescendo mais rápido e claro eu sugiro que você pode o vídeo e tente resolver isso sozinho e Inicialmente vamos relembrar o que é equação diferencial logística e o que é capacidade de suporte uma equação diferencial logística é aquela na qual o vemos a taxa de mudança de variação da nossa a ação em relação ao tempo que a proporcional ao produto da população e pela diferença entre a capacidade de suporte e a população e esse é o modelo que você vê bastante porque ele é bem útil para estudar coisas como por exemplo populações e quando a população é pequena o ambiente realmente não está o limitando e assumindo que nós começamos com o valor inicial essa população vai crescendo e se essa capacidade de suporte for maior do que a população significa que a taxa de mudança vai aumentar deixa eu colocar isso aqui em um gráfico deixa eu colocar o plano cartesiano e vou mostrar uma solução típica de uma equação diferencial logística e nós temos aqui o tempo EA população que depende desse tempo está em função desse tempo então quando o nosso a população começa vamos dizer que essa população é diferente de zero isso porque se a população for Zero Isso aqui tudo vai dar zero e aí a nossa taxa de mudança vai ser re0 isso significa que a nossa população nunca iria crescer isso faz sentido né Por exemplo se você não tem coelhos em uma ilha essa população de coelhos nunca vai crescer por isso é necessário que você tem uma população Inicial mesmo que essa população seja bem pequena então por exemplo se você tem uma população inicial de coelhos essa população vai começar a crescer conforme isso aqui cresce e aí vai continuar crescendo e crescendo mas aí em algum ponto essa capacidade ela vai chegar ao seu limite e aí esse ambiente vai limitar a quantidade de com eles que pode crescer mais porque isso sim toda vez que a população se aproximar desse ambiente essa diferença vai 10 Isso significa que a variação vai ser cada vez e cada vez menor Portanto o limite vai ser quando P fica muito próximo dia ou seja conforme o te se aproxima do infinito a variação vai se aproximando de zero e com isso a nossa população será responsável pela capacidade de suporte portanto s.a. é a capacidade de suporte e Existem algumas maneiras de responder essa primeira pergunta a primeira é que podemos colocar a nossa equação diferencial logística nessa forma e aí conseguiríamos reconhecer a capacidade de suporte e uma outra maneira é pensar no que acontece à medida que tem se aproxima do infinito Isso aqui vai se aproximar de zero portanto podemos pensar em quais valores de p tornaria essa equação igual a zero Ok vamos fazer das de e se você perceber essa parte já é parecida com essa a diferença é que o peixe está sendo dividido por 8 mil e o que podemos fazer simples podemos de multiplicar essa parte por 8 mil e dividir essa aqui por 8000 com isso o valor da equação não será alterado E aí vamos ficar com DP sobre de te que é igual a pi sobre 4 mil já que dividimos isso aqui por 8 mil e tem esse dois aqui por isso simplificamos e ficamos com 4 mil e multiplicamos tudo isso aqui por 8 mil e aplicando a distributiva oito mil vezes 6 vai dar 48.000 - P conseguimos escrever dessa forma e se compararmos podemos ver que a capacidade de suporte = 48 mil Então 48.000 bactérias e Oi aqui é igual a 48.000 agora do outro jeito o que temos que fazer simples à medida que o te se aproxima do infinito isso aqui se aproxima de zero então quando isso se aproxima de zero o PC se aproxima de que então 0 = 2 p que multiplica a 6 - p sobre oito mil e o que nós temos agora é uma equação que devemos resolver esse duas coisas estão se multiplicando e o resultado está dando 10 uma delas tem que ser zero então ou dois p = 0 o que significa que a população é igual a zero ou então isso aqui é igual a zero e podemos resolver aqui ao lado colocando 6 - p sobre oito mil igual a zero e se subtrairmos ambos os membros da equação por seis e já multiplicarmos por menos um vamos eu compenso sobre oito mil = 6 e se multiplicarmos ambos os membros dessa equação por 8 mil vamos ficar com o p = 48 mil que a mesma coisa da nossa capacidade de população agora vamos responder a segunda pergunta qual é o tamanho da população quando está crescendo mais rápido o que isso significa veja bem a população vai começar crescendo crescendo e de repente a taxa de mudança vai começar a diminuir mas tem um momento que a sua taxa de mudança está crescendo mais rápido mas que ponto Exatamente é esse o que você pode fazer é voltar para essa equação diferencial logística essa taxa de mudança de variação é uma função da nossa população se você multiplicar essas duas coisas você vai ter uma expressão quadrática O que significa que o gráfico dessa taxa de variação é uma parábola com concavidade para baixo por exemplo se eu desenhar uma função de DP de Ti em relação à população Inicialmente nós temos uma população Inicial e conforme o tempo vai passando a sua taxa de variação vai aumentando mas chega um momento que ela começa a diminuir e vai diminuindo e se aproxima de Zero Isso significa que a população está se aproximando da capacidade de suporte por exemplo aqui teríamos a nossa capacidade de suporte e o que significa esse ponto máximo Existem algumas maneiras de pensar nele podemos pensar em termos de cálculo em termos de álgebra tem muitas maneiras de identificar esse ponto máximo Observe que o vértice está no meio das raízes dessa função quadrática então devemos encontrar as raízes a equação e nós já fizemos isso aqui o vértice vai ficar eh entre essas duas raízes Ou seja quando a população é zero e a nossa população = 48 mil que a nossa própria capacidade de suporte portanto vértice A média aritmética dessas Raízes que a mesma coisa quiseram mais 48 mil sobre 2 = 24 mil Portanto o tamanho da população quando está crescendo mais rápido é de 24 mil basicamente nós devemos achar o vértice dessa função aqui e esse é um exercício que pode parecer até difícil mas se você reconhecer uma equação logística e sua fórmula você vai ver que não é nada complicado claro isso aqui é uma equação diferencial Mas você também pode vê-la como uma função da nossa população e lembre-se Esse a é a capacidade de se o E conforme o tempo se aproxima do infinito essa taxa de variação vai se aproximando de zero e eu espero que a sala tenha te ajudado e até a próxima pessoal