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Transcrição de vídeo

nesse vídeo nós vamos começar a falar sobre modelagem populacional ou seja uma modelagem de populações e esses dois cavaleiros aqui são os caras mais conhecidos quando pensamos sobre população e os limites de crescimento populacional esse primeiro aqui é thomas malthus ele era um clérigo britânico escritor é estudioso no final dos anos 1700 no final do século 18 o início do século 19 ele alterou bastante a noção que a população crescia indefinidamente e que seríamos capazes de nos alimentar através da tecnologia ou seja o meio ambiente colocaria limites na quantidade ou onde uma população poderia crescer esse outro aqui prv rusty eu não sei se estou acertando muito bem a pronúncia do nome dele não mas vamos considerar que seja isso ele era um matemático belga que lewis trabalho de malthus e tentou modelar o comportamento que malthus falava ele até dizia o seguinte ok quando não há limites do meio ambiente talvez a população possa crescer exponencialmente mas quando ela se aproxima de um determinado limite estabelecido pelo meio ambiente teremos essencialmente o mas sinto sobre algum tipo de população malthus não pensava em uma cinta certeira ele achava que a população poderia até ultrapassar um limite mas aí teríamos catástrofes dessa forma nós voltaríamos para abaixo do limite e nós meio que oscilaria mos em torno de um limite através de certas catástrofes podemos ver que malthus era bem otimista não é mas vamos pensar um pouco a respeito de crescimento populacional através da matemática e pra fazer isso nós vamos utilizar as equações diferenciais essas equações sobre populações não são coisas muito complicadas de se pensar mais do que devemos sempre ter em mente é que nós precisamos pensar a respeito de populações através de equações diferenciais então por isso antes eu vou começar a definir algumas variáveis aqui a primeira variável que eu vou definir essa variável n que significa população ou seja essa variável ele indica pra gente o número de indivíduos em uma população e esse número de indivíduos em uma população várias em função do tempo então por esse motivo nós podemos ter uma função aqui que depende do tempo ou seja uma função temporal então a gente vai ter um ndt e pra gente determinar o número de população no decorrer do tempo nós precisamos resolver essa função sabendo que essa população varia no decorrer do tempo é interessante a gente estabelecer aqui a taxa de variação da população no decorrer do tempo ou seja de ndt de ndt indica pra gente a taxa de variação do número de indivíduos nessa população em relação ao tempo ok mas será que essa taxa de variação da população se relaciona com quais outros termos uma coisa interessante é pensar a respeito dessa variação de população é que ela será proporcional ao número populacional se ela vai ser proporcional ao número de indivíduos em uma população nós podemos colocar aqui uma taxa de variação uma taxa de variação que eu vou chamar de r e pelo fato de ser proporcional ao número de indivíduos em uma população ou seja o número populacional nós podemos multiplicar essa taxa de variação com o número populacional ou seja com n beleza a que estabelecemos uma equação diferencial o nosso objetivo aqui é determinar uma função uma função temporal desse número populacional e pra fazer isso nós podemos resolver essa equação diferencial aqui ea olhar para essa equação rapidamente você percebe que não é uma equação muito difícil de resolver e para resolver aqui a gente pode pensar nisso é que como uma fração então a gente multiplica por detém ambos os lados assim a gente cancela e se de ter que decidir lado e fica com de ter aqui desse lado ea gente vai dividir por n dos dois lados da equação assim a gente vai ter um sobre ele aqui do lado esquerdo ea gente cancelar esse m do lado direito então que nós vamos ter aqui vai se um sobre n vezes dn isso sendo igual a esse fator de proporcionalidade dt beleza então a gente vem aqui e integra do lado esquerdo e integra do lado direito integrando o sobre ele de aqui do lado esquerdo o qual vai ser a nossa resposta bem a integral de um sobre ndn é igual a um logaritmo natural do módulo de n então isso aki vai ser igual ao logaritmo natural do módulo dn e isso vai ser igual a gente pode colocar-se r pra fora da integral porque o r é uma constante e vamos multiplicar pela integral ddt ea integral ddt é igual a ter e isso claro mais uma constante afinal de contas estamos fazendo uma integral indefinida que então a gente precisa somar com uma constante aqui desse lado beleza bem aqui nós temos o lnd m sendo igual a r vezes te mas se mas o nosso objetivo é encontrar esse e não é como que a gente pode então resolver essa expressão de maneira encontrar s n nós podemos aplicar o exponencial aqui do lado esquerdo e do lado direito porque conforme sabemos o exponencial do lugar ritmo natural do módulo dn vai ser igual ao módulo dn então a gente aplica o exponencial aqui do lado esquerdo e aplicar os potencial aqui do lado direito também então nós vamos ter é elevado eliene do módulo dn sendo igual a elevado a r vezes ter mais se a gente só pode utilizar essa propriedade porque aqui nós temos que ln do módulo dn vai ser igual a r existem mais e se isso é igual nós podemos dizer que elevado a ln do módulo dn é igual a elevado a rt mais ser ok aqui já encontramos o módulo de n mas a gente não quer encontrar o modo de e nós queremos encontrar o n o que nós podemos fazer aqui bem como nós nunca vamos ter um número populacional negativo a gente pode até ter uma taxa negativa ou seja ao invés de ter um crescimento ter um decrescimento mas o número de indivíduos presente em uma população sempre vai ser positivo certo sabendo disso nós podemos assumir então a gente vai fazer o seguinte assumindo o que n sempre vai ser maior que zero nós podemos tirar esse eniac do módulo e trabalhar apenas com n certo assumindo que ele é maior que zero nós vamos ter que ver e nimas se igual ao que desse lado nós temos e elevado a r vezes ter mais cena é nós podemos melhorar isso aqui um pouquinho utilizando a propriedade do exponencial quando nós temos aqui uma soma no expoente nós podemos repetir a base e levar a que é o primeiro expoente o primeiro termo ou seja r existe e e multiplicar com a mesma base que é o elevado ao segundo tema que está na soma desses poente ou seja se aqui nesse caso então nós vamos ter isso aqui sendo igual a e elevado r vezes ter vizinhos e levadas e porém ser uma constante não é e e também é uma constante uma constante levado a uma constante vai nos fornecer uma outra constante então isso aqui nós podemos chamar esse elevados e de uma outra constante eu poderia até colocar que ser um e seduz tudo bem mas vamos trabalhar apenas com esses e aqui lembrando que essa constante diferente dessa outra constante mas de qualquer forma não deixa de ser uma constante então esse n vai ser igual a uma constante vezes elevado a rt isso aqui vai se igual a si vezes e elevado a r existê então aqui nós já temos a nossa função para n só que esse n é uma função que varia no decorrer do tempo certo afinal de contas o seu uma constante eo r também então a única variável aqui então por isso nós podemos dizer qn que é o número de indivíduos em uma população o número populacional vai ser uma função temporal então podemos colocar aqui que esse n que eu vou mudar de cor aqui e vou colocar com essa cor vai se uma função que depende do tempo então aqui nós já temos a nossa função aqui de crescimento populacional ok mas aqui nós temos uma constante o que significa essa constante aqui conforme sabemos num instante de tempo igual a zero nós vamos ter um número de população igual a zero certo então e num tempo igual a zero nós vamos ter um número populacional inicial ou seja 1 n 0 no entanto resolvendo essa expressão aqui nós vamos ter gn num tempo igual a zero vai ser igual a quanto nós sears e vezes e elevado r 20 ou seja r 60 é igual a zero todo o número elevado a 0 é igual a 1 então nós vamos ter seis vezes um que é igual ao próprio um siena 0 nós temos um número populacional inicial e aqui resolvendo essa função do temporal nós chegamos a expressão que ele num tempo igual a zero é igual a ser nós podemos dizer que esse vai ser igual ao número inicial aqui de população então nós podemos substituir esses e por m0 assim resolvendo essa função nós chegamos ao resultado dessa taxa de variação aqui sendo igual a n ou seja o número de indivíduos em uma população o número populacional vai cn em função do tempo sendo igual a ser só que esse é igual a n0 então vamos colocar aqui n0 que é o número de indivíduos que é o número inicial de indivíduos em uma certa população vezes e elevado a r vezes te então essa daqui a nossa função que expressa o número populacional no decorrer do tempo ou seja o número de indivíduos que teremos em uma população no decorrer do tempo no entanto como podemos observar essa daqui é uma equação exponencial então se a gente fosse pilotar o gráfico dessa função aqui nós teríamos algo parecido com isso aqui lutando aqui o eixo y em que o eixo y representa o número populacional e aqui o eixo x em que o eixo x representa o tempo a gente já vai começar um tempo 0 com o número inicial de indivíduos aí a gente vai ter que o crescimento dessa forma à medida que o tempo passa o número populacional vai crescer e infinitamente ou seja nós não teremos um limite para o crescimento exponencial isso daqui de fato acontece com populações pequenas mas conforme a gente observa populações maiores não é isso é que vai acontecer na verdade a gente vai ter um crescimento mais ou menos parecido com isso aqui a gente vem seguindo essa curva mas quando chega num determinado ontem acontece isso aqui ou seja vai ter uma tendência para uma certa assim tuta e essa daqui foram as ideias que maus falou pra gente claro a gente pode ter uma pequena variação aqui uma pequena oscilação mas de qualquer forma no geral mas está oscilando em torno dessa assim o tanto então como é que a gente pode desprezar esse comportamento populacional através de uma equação diferencial no próximo vídeo nós veremos que pf de rust encontrou uma equação diferencial muito boa com uma solução que modela e descreve bem melhor a realidade que malthus acreditava-se real então nos vemos no próximo vídeo