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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 2
Lição 4: Raciocínio usando campos de direçõesAproximando curvas solução em campos de direções
Dado o campo de direções de uma equação diferencial, podemos esboçar diversas soluções da equação.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Aqui nós temos a derivada de y em relação
a x igual y/6 que multiplica (4 menos y) e aqui nós temos o campo de direções para essa
equação diferencial, que podemos verificar aqui. Para isso eu vou
construir uma tabela onde vou colocar alguns valores
de x e vamos descobrir y e dy/dx. Eu posso começar analisando esse
ponto, que é x igual a 1 e y igual a 1. Se substituirmos aqui, vamos ficar com ⅙
que multiplica 4 menos 1, que vai dar ½. Essa é inclinação da reta
tangente ao ponto (1,1), ou seja, a inclinação
dessa reta tangente é ½. E claro, essa inclinação depende apenas
do y, não importa qual seja o valor de x. Isso significa que
quando x é igual a ½, a inclinação da reta que passa
por esse ponto também vai ser ½. O mesmo acontece com essa
inclinação e com essa aqui também, ou seja, para todos esses valores
a inclinação sempre vai ser ½. Isso nos mostra que, de fato, esse é o
campo de direção dessa equação diferencial. Se você não acredita, nós podemos até
olhar outros pontos para ter certeza disso e, para isso, podemos utilizar o campo
de direções para visualizar algumas soluções. Vamos dizer que nós temos esse
ponto, que é x igual a 1 e y igual a 6. Como eu disse, não importa o valor de x.
Nós temos que usar somente o valor de y. Substituindo na equação diferencial,
vamos ficar com 6 sobre 6, que dá 1, e isso multiplica 4 menos 6,
que vai dar -2. Essa inclinação de -2
é o que, de fato, está aqui, ou seja, quando y vale 6
nós temos uma inclinação de -2. De fato, esse é o campo de direções
para essa equação diferencial. Se ainda não acredita nisso, você
pode testar para outros valores, mas o que eu quero fazer nesta aula
é utilizar esse campo de direções para visualizar soluções
para esta equação diferencial. Nós fazemos isso utilizando pontos
por onde a solução deve passar. Então, vamos dizer que nós temos
uma solução que passa por esse ponto. Como ela deve se parecer? Bem, a inclinação da reta
tangente a esse ponto é essa aqui e quando y é igual a 2, ela vai estar paralela
a todos esses segmentos no campo de direções e a partir daqui parece que a inclinação
dessa reta começa a diminuir quando nos aproximamos
de y igual a 4. Se eu tivesse alguma solução
que passasse nesses pontos, acredito que ela se
pareceria com algo assim. Isso quer dizer que a inclinação vai diminuindo
conforme nos aproximamos de y igual a zero, e quando y é igual a zero,
isso aqui vai dar zero, o que nos diz que
essa derivada será zero. Então, um conjunto de soluções
razoáveis se parece com isso, e isso aqui nos dá
uma pista das soluções. Mas e se ela passar por aqui?
Nós vamos utilizar a mesma lógica. Vamos ter algo mais ou menos assim,
ou seja, nós estamos tentando achar o conjunto de soluções
para essa equação diferencial, e é exatamente o que essas
duas coisas estão dizendo, ou seja, nós estamos tentando achar uma classe
de funções que satisfaça essa equação diferencial. Olhando esse campo de direções,
parece que tem algo interessante entre y igual a zero
e y igual a 4, ou seja, parece que temos soluções
como essas que seguem um certo padrão. Mas o que acontece para valores
maiores ou iguais a y igual a 4 ou para valores de menores
ou iguais a y igual a zero? Por exemplo, o que aconteceria se
uma solução passasse por esse ponto? Esse campo de direções nos
diz que a inclinação da reta que passa por esse ponto é zero e,
portanto, o valor de y não vai mudar. Com isso, a nossa
inclinação vai continuar zero, ou seja, isso aqui é uma solução
para essa equação diferencial. Assim, y igual a 4 é uma solução
particular dessa equação diferencial, o que nos diz que se substituir
4 aqui, você vai ter 4/6, que multiplica 4 menos 4,
que vai dar zero, Então zero vez isso vai
dar zero do lado direito. Portanto, a derivada
vai ser igual a zero. A mesma coisa vale
para y igual a zero, ou seja, também é uma solução particular
para essa equação diferencial. E o que acontece se pegarmos
um ponto acima do y igual a 4? Esse conjunto de soluções vai
ser algo mais ou menos assim e o campo de direções nos dá
uma ideia dessa inclinação, ou seja, conforme a minha curva progride,
a minha solução também progride. Então, a solução que inclui o ponto
(0,5) é algo parecido com isso e uma solução que inclui o ponto (0, -½)
vai ser algo parecido com isso. Enfim, o que eu quis mostrar nesta aula
é a importância desse campo de direções. Se você tem uma equação diferencial
que envolva somente a primeira derivada, nós podemos colocar esse conjunto
de soluções em um campo de direções. Isso vai mostrar a tendência
para essas inclinações e nos dá uma ideia para quais são as
soluções dessa equação diferencial. Eu espero que essa aula tenha os
ajudado e até a próxima, pessoal!