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Aproximando curvas solução em campos de direções

Dado o campo de direções de uma equação diferencial, podemos esboçar diversas soluções da equação.

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  • Avatar orange juice squid orange style do usuário 228512016
    gostaria de saber como faço pra entra em videos que ainda nao vi e que me ajude em pre cauculo e matematica. mas quero dizer que aprendo muito com a khanacademy
    (2 votos)
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  • Avatar orange juice squid orange style do usuário 228512016
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  • Avatar blobby green style do usuário Mickaelle Soares
    por que este video esta engles
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Transcrição de vídeo

Oi e aí pessoal tudo bem Aqui nós temos a derivada de y em relação a x = y sobre 6 e multiplica 4 - y e Aqui nós temos o campo de direções para essa equação diferencial e que podemos verificar aqui E para isso eu vou construir uma tabela aqui onde eu vou colocar alguns valores de x e vamos descobrir o y e da Y sobre de x e eu posso começar analisando esse ponto que é x igual a um Y = 11 e se substituirmos aqui vamos ficar com um sobre seis que multiplica 4 - 1 que vai dar meio Essa é inclinação da reta tangente ao ponto 1 ou seja inclinação dessa reta tem gente é meio e claro essa inclinação depende apenas do Y não importa O que é o valor de X Isso significa que quando X = meio a inclinação da reta que passa por esse ponto também vai ser meio e o mesmo acontece com essa inclinação e com essa aqui também ou seja para todos esses valores a inclinação sempre vai ser meio e isso nos mostra e de fato esse ao campo de direção dessa equação diferencial que você não acredita nós podemos até olhar outros pontos para ter certeza disso e com isso nós podemos utilizar o campo de direções para visualizar algumas soluções vamos dizer que nós temos esse ponto que é x igual a um Y = 6 e como eu disse não importa o valor de X nós temos que usar somente o valor de y e substituindo na equação diferencial vamos ficar com 6 sobre seis que dá um isso multiplica 4 ou menos seis e vai dar menos dois e essa inclinação de menos de dois é o que de fato está aqui ou seja quando Y vale seis nós temos uma inclinação de menos dois dias fato Esse é o campo de direções para essa equação diferencial e se você ainda não acredita nisso você pode testar para outros valores Mas o que eu quero fazer nessa aula é utilizar esse campo de direções para visualizar soluções para esta equação diferencial e nós fazemos isso utilizando pontos e a solução deve passar Então vamos dizer que nós temos uma solução que passa por esse ponto como ela deve se parecer bem a inclinação da reta tangente a esse ponto é essa aqui e quando Y = 2 ela vai estar paralela a todos esses segmentos no campo de Oi mãe e a partir Daqui parece que é inclinação dessa reta começa a diminuir quando nos aproximamos de y = 4 e aí se eu tivesse alguma solução que passasse nesses pontos acredito que ela ia se parecer com algo assim isso quer dizer que inclinação vai diminuindo conforme nos aproximamos de y = 0 e quando Y = 0 Isso aqui vai dar zero o que nos diz que essa derivada será zero então um conjunto de soluções razoáveis se parece com isso isso aqui nos dá uma pista das soluções mas e se ela passar por aqui nós vamos utilizar a mesma lógica ou seja vamos ter algo mais ou menos assim ou seja nós estamos tentando achar o conjunto de soluções para essa equação diferencial E é exatamente o que essas e eles estão dizendo ou seja nós estamos tentando achar uma classe de funções e satisfaça essa equação diferencial e olhando esse campo de direções parece que tem algo interessante entre Y = 0 Y = 4 ou seja parece que temos soluções como essas que seguem um certo padrão mas o que acontece para valores maiores ou iguais a y = 4 ou para valores de menores ou iguais a y = 0 por exemplo o que aconteceria se uma solução passasse por esse ponto esse campo de direções nos diz que a inclinação da reta que passa por esse ponto é zero e portanto o valor de y não vai mudar e com isso a nossa inclinação vai continuar zero ou seja isso aqui é uma solução para essa equação a gerencial ou seja Y = 4 é uma solução particular dessa equação diferencial o que nos diz e se você substituir quatro aqui você vai ter quatro sobre seis que multiplica 4 - 4 que vai dar zero então 10 vezes isso vai dar zero do lado direito portanto a derivada vai ser igual a zero e a mesma coisa vale para Y = 0 ou seja tão bem é uma solução particular para essa equação diferencial e o que acontece se pegarmos um ponto acima do Y = 4 esse conjunto de soluções vai ser algo mais ou menos assim e o campo de direções ele te dá uma ideia dessa inclinação ou seja conforme e minha curva progride a minha solução também progride então a Kim Coelho o ponto 05 é algo parecido com isso e uma solução que inclui o ponto zero menos meio vai ser algo parecido com isso enfim o que eu quis mostrar nessa aula é importância desse Campo de direções se você tem uma equação diferencial que envolva somente a primeira derivada nós podemos colocar esse conjunto de soluções em um campo de direções isso vai mostrar a tendência para essas inclinações e isso te dar uma ideia para Quais são as soluções dessa equação diferencial e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal