Equações diferenciais separáveis

Separação de variáveis é um método comum para resolver equações diferenciais. Vamos ver como isso é feito, resolvendo a equação diferencial $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{3y^2}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, 2, x, divided by, 3, y, squared, end fraction:

Nas linhas $(1)$left parenthesis, 1, right parenthesis a $(3)$left parenthesis, 3, right parenthesis nós manipulamos a equação para que ela ficasse na forma $f(y)\,dy=g(x)\,dx$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x. Em outras palavras, nós separamos $x$x de $y$y e assim cada variável está no seu próprio lado, incluindo $dx$d, x e $dy$d, y, que formaram a expressão derivada $\dfrac{dy}{dx}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction. É por isso que esse método é chamado de "separação das variáveis".

Na linha $(4)$left parenthesis, 4, right parenthesis nós calculamos a integral definida de cada lado da equação. O princípio subjacente, como sempre nas equações, é que se $f(y)\,dy$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y é igual a $g(x)\,dx$g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, então suas integrais indefinidas devem ser iguais.

Nas linhas $(5)$left parenthesis, 5, right parenthesis e $(6)$left parenthesis, 6, right parenthesis nós realizamos a integração em relação a $y$y (no lado esquerdo) e em relação a $x$x (no lado direito) e então isolamos $y$y.

Nós adicionamos a constante $C$C apenas do lado direito. Adicionar uma constante dos dois lados é desnecessário, porque sempre podemos mover uma das constantes para o outro lado e assim terminaremos sempre com uma única constante.

Concluindo, a solução geral de $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{3y^2}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, 2, x, divided by, 3, y, squared, end fraction é $y=\sqrt[3]{x^2+C}$y, equals, cube root of, x, squared, plus, C, end cube root. Você pode derivar $y$y para confirmar essa solução.

Retornando à solução da equação, note como a separação de variáveis que nós realizamos nas linhas $(1)$left parenthesis, 1, right parenthesis a $(3)$left parenthesis, 3, right parenthesis nos permitiu integrar os dois lados e obter assim uma equação sem derivadas.