Identificação de equações separáveis

Para resolver uma equação diferencial usando separação de variáveis, nós devemos ser capazes de colocá-la na forma $f(y)dy=g(x)dx$‍, em que $f(y)$‍ é uma expressão que não contém $x$‍, e $g(x)$‍ é uma expressão que não contém $y$‍.

Nem todas as equações diferenciais são assim. Por exemplo, ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x+y$‍ não pode ser colocada na forma $f(y)dy=g(x)dx$‍, não importa o quanto tentemos.

Na verdade, o grande desafio de usar separação de variáveis é identificar onde esse método é aplicável. Equações diferenciais que podem ser resolvidas usando o método da separação de variáveis são chamadas de equações separáveis.

Então, como podemos dizer que uma equação é separável? O tipo mais comum são as equações em que ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$‍ é igual ao produto ou ao quociente de $f(y)$‍ e $g(x)$‍.

Por exemplo, ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{g(x)}{f(y)}}$‍ pode se tornar $f(y)dy=g(x)dx$‍ quando multiplicada por $f(y)$‍ e $dx$‍.

Além disso, ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(y)g(x)$‍ pode se tornar ${\displaystyle \frac{1}{f(y)}}dy=g(x)dx$‍ quando dividida por $f(y)$‍ e multiplicada por $dx$‍.

Aqui estão alguns exemplos concretos:

Outras equações devem ser ligeiramente manipuladas antes de estarem na forma ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(y)g(x)$‍. Por exemplo, precisamos fatorar o lado direito de ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=xy-7x$‍ para colocá-la na forma desejada: