If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Identificação de equações separáveis

Para resolver uma equação diferencial usando separação de variáveis, nós devemos ser capazes de colocá-la na forma f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, em que f, left parenthesis, y, right parenthesis é uma expressão que não contém x, e g, left parenthesis, x, right parenthesis é uma expressão que não contém y.
Nem todas as equações diferenciais são assim. Por exemplo, start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, plus, y não pode ser colocada na forma f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, não importa o quanto tentemos.
Na verdade, o grande desafio de usar separação de variáveis é identificar onde esse método é aplicável. Equações diferenciais que podem ser resolvidas usando o método da separação de variáveis são chamadas de equações separáveis.
Então, como podemos dizer que uma equação é separável? O tipo mais comum são as equações em que start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction é igual ao produto ou ao quociente de f, left parenthesis, y, right parenthesis e g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Por exemplo, start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction pode se tornar start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x quando multiplicada por start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c e d, x.
Além disso, start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd pode se tornar start fraction, 1, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x quando dividida por start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c e multiplicada por d, x.
Aqui estão alguns exemplos concretos:
dydx=sen(y)f(y)ln(x)g(x)1sen(y)dy=ln(x)dx\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=\overbrace{\maroonD{\operatorname{sen}(y)}}^{\maroonD{f(y)}}\overbrace{\blueD{\ln(x)}}^{\blueD{g(x)}}\\\\\dfrac{1}{\operatorname{sen}(y)}dy&=\ln(x)\,dx\\\\\end{aligned}
dydx=x35xg(x)eyf(y)eydy=(x35x)dx\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{\overbrace{\blueD{x^3-5x}}^{\blueD{g(x)}}}{\underbrace{\maroonD{e^y}}_{\maroonD{f(y)}}}\\\\e^y\,dy&=(x^3-5x)\,dx\\\\\end{aligned}
dydx=yf(y)cos(x)g(x)1ydy=1cos(x)dx\begin{aligned}\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{\overbrace{\maroonD{\sqrt y}}^{\maroonD{f(y)}}}{\underbrace{\blueD{\cos(x)}}_{\blueD{g(x)}}}\\\\\dfrac{1}{\sqrt y}dy&=\dfrac{1}{\cos(x)}dx\end{aligned}
Outras equações devem ser ligeiramente manipuladas antes de estarem na forma start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, f, left parenthesis, y, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis. Por exemplo, precisamos fatorar o lado direito de start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, y, minus, 7, x para colocá-la na forma desejada:
start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, y, minus, 7, x, equals, start overbrace, start color #11accd, x, end color #11accd, end overbrace, start superscript, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, end superscript, start overbrace, left parenthesis, start color #ca337c, y, minus, 7, end color #ca337c, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end superscript
Problema 1
Essa equação diferencial pode ser resolvida usando o método da separação de variáveis?
start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, 3, y, minus, x, squared, y
Escolha 1 resposta:

Problema 2
Essa equação diferencial pode ser resolvida usando o método da separação de variáveis?
start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, 4, x, plus, 5, y, plus, 4
Escolha 1 resposta:

Problema 3
Essa equação diferencial pode ser resolvida usando o método da separação de variáveis?
start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, 2, start superscript, y, minus, x, end superscript
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Quer participar da conversa?

  • Avatar duskpin seedling style do usuário Ailtonkbca1210kb
    Um dos métodos para resolver equações diferenciais ordinárias é separar as variáveis, de forma que tenhamos g left parenthesis y right parenthesis d y equals f left parenthesis x right parenthesis d x, sendo, portanto, possível determinar a solução.

    Considerando a solução de equações diferenciais ordinárias pelo método de separação de variáveis e a solução particular, assinale a alternativa que apresenta corretamente a solução particular da equação diferencial ordinária y apostrophe equals fraction numerator x y over denominator 1 plus x squared end fraction , que satisfaz y left parenthesis 2 right parenthesis equals 5.
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.