Identificação de equações separáveis

Para resolver uma equação diferencial usando separação de variáveis, nós devemos ser capazes de colocá-la na forma $f(y)\,dy=g(x)\,dx$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, em que $f(y)$f, left parenthesis, y, right parenthesis é uma expressão que não contém $x$x, e $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis é uma expressão que não contém $y$y.

Nem todas as equações diferenciais são assim. Por exemplo, $\dfrac{dy}{dx}=x+y$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, plus, y não pode ser colocada na forma $f(y)\,dy=g(x)\,dx$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, não importa o quanto tentemos.

Na verdade, o grande desafio de usar separação de variáveis é identificar onde esse método é aplicável. Equações diferenciais que podem ser resolvidas usando o método da separação de variáveis são chamadas de equações separáveis.

Então, como podemos dizer que uma equação é separável? O tipo mais comum são as equações em que $\dfrac{dy}{dx}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction é igual ao produto ou ao quociente de $f(y)$f, left parenthesis, y, right parenthesis e $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Por exemplo, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\blueD{g(x)}}{\maroonD{f(y)}}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction pode se tornar $\maroonD{f(y)}dy=\blueD{g(x)}dx$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x quando multiplicada por $\maroonD{f(y)}$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c e $dx$d, x.

Além disso, $\dfrac{dy}{dx}=\maroonD{f(y)}\blueD{g(x)}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd pode se tornar $\dfrac{1}{\maroonD{f(y)}}\,dy=\blueD{g(x)}dx$start fraction, 1, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x quando dividida por $\maroonD{f(y)}$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c e multiplicada por $dx$d, x.

Aqui estão alguns exemplos concretos:

Outras equações devem ser ligeiramente manipuladas antes de estarem na forma $\dfrac{dy}{dx}=f(y)g(x)$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, f, left parenthesis, y, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis. Por exemplo, precisamos fatorar o lado direito de $\dfrac{dy}{dx}=xy-7x$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, y, minus, 7, x para colocá-la na forma desejada: