Exemplo solucionado: identificação de equações separáveis

RKA8JV - Quais das equações diferenciais abaixo são separáveis? Se você tiver um dy/dx, igual a multiplicação de duas funções, uma em g(y), outra em h(x), é interessante nós separarmos da seguinte forma: nós podemos passar esse g(y) para cá dividindo, fica 1/g(y) dy. Passamos o dx para lá multiplicando e temos h(x) dx. É interessante separar porque nós temos aqui uma função de "x", d(x), essa é a função de "y", dy, ambas são facilmente integráveis. Portanto, vamos observar esta primeira. Será que nós podemos separar em duas funções h(x) tipo esta h(x)dx, ou g(y)dy? Vamos ver. "x" vezes dy/dx, que é y', mais "y" igual a 3. O que a gente pode fazer? Nós podemos subtrair "y" de ambos os lados, então, ficamos com "x dy/dx = 3 - y". Agora, podemos passar o "x" para cá dividindo, então, nós temos dy/dx = (3 - y)/x. Veja, nós temos uma divisão aqui. É interessante, porque temos uma variável que está no numerador, temos a outra que está no denominador, então, realmente podemos separar, e vamos separar. Vamos passar este camarada para cá dividindo, vamos ter 1 sobre "3 - y" dy, e do outro lado nós temos "1/x" dx Com isso, nós separamos e podemos integrar ambos os lados, ou seja, a primeira é separável. Vamos para a segunda. Na segunda, o que nós podemos fazer? Podemos passar o "x" para cá, subtraindo, este 2y para cá, subtraindo, e este -1 para cá, somando. Então, temos 2dy/dx = -2x - 2y + 1. Dividindo tudo por 2, vamos ter "dy/dx = -x - y + 1/2". E chegamos a uma posição que realmente não dá mais para a gente separar as variáveis, principalmente porque tem uma soma. Quando tem uma multiplicação fica bem mais simples. Bem, vamos ver esta. Esta aqui já está na forma separada, porque você tem "x" e "x" aqui, você tem "y" e "y" aqui, você tem uma multiplicação. dy/dx = (x² + x)(y² + y). Ora, podemos passar este cara para cá dividindo e o dx para lá, né? Ou seja, você fica com 1/y² + y·dy = (x² + x)·dx. Ambos os lados dependem apenas de uma variável, então, separamos, podem ser integráveis facilmente, então, é facilmente separável. Vamos ver, agora, um último exemplo. Vamos ver agora este aqui. Este aqui é interessante. Vamos colocar o dy em evidência. Nós temos dy e dx e ficamos com (x + y), apareceu uma soma, igual a "x". Da maneira que está aqui, o que a gente pode fazer? Passar este (x + y) para lá dividindo, né? Então, temos dy/dx = x/(x + y). Nós temos, no numerador, uma variável, que é o "x", mas, no numerador, temos uma soma e não uma multiplicação, de duas variáveis diferentes, portanto, essa não é separável. Então, a resposta é: a primeira e a terceira são equações diferenciais separáveis.