If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Exemplo prático: equações diferenciais separáveis

Dois exemplos práticos sobre como encontrar soluções gerais para equações diferenciais separáveis.

Transcrição de vídeo

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos fazer alguns exemplos a respeito de equações diferenciais separáveis basicamente nós vamos procurar a solução geral para cada uma delas Então vamos dizer que nós temos aqui a equação diferencial dydx que é a derivada de y em relação a x que é igual a é elevado a x sobre y e eu sugiro que você pause o vídeo e tente encontrar uma solução geral para essa equação a única dica que eu vou dar é que se trata de uma equação diferencial separável Ok vamos lá sabendo que é uma equação diferencial separável que devemos fazer é colocar o de y e o y de um lado da equação e o x e o DX do outro lado e para fazer isso nós vamos ter que fazer algumas manipulações algébricas a primeira coisa que eu vou fazer aqui é multi o anos os membros dessa equação por y então vezes Y aqui e vezes Y aqui e aí nós vamos ficar com Y que multiplica dydx que é igual eu posso cancelar esse Y com esse Y ficando com é elevado a x e agora nós podemos multiplicar ambos os membros da equação por DX DX aqui que eu vou acabar cancelando com esse DX e DX desse lado direito e com isso temos Y que multiplica de y = é elevado a x DX e para resolver essa equação nós devemos aplicar a integral Em ambos os membros dela e qual é a integral de y nós podemos aplicar a regra da potência reversa que significa que nós vamos pegar esse expoente só marca um e dividir pelo expoente mais um Ou seja a anti derivada de y vai o y ao quadrado sobre dois isso é igual a integral de é elevado a x que é o próprio é elevado a x e por ser uma integral indefinida nos somamos com uma constante ser essa que é a solução geral para essa equação diferencial separável vamos ver mais um exemplo vamos dizer que eu tenho aqui da Y de X = Y ao quadrado que multiplica o seno de x e como sempre eu sugiro que você pode o vídeo e tente encontrar a solução geral desta equação vamos lá de novo o que queremos é separar de um lado o de y e o y e do outro o deixes e o x e como podemos fazer isso como aqui tem um y ao quadrado eu posso multiplicar ambos os membros dessa equação por y elevado a menos 2 e com isso essas duas coisas vão ser igual a um portão a ficar com y elevado a menos de dois de y deixe igual a seno de x e agora eu posso multiplicar ambos os membros dessa equação por DX E aí eu cancelo esse deixes com esse DX ficando com y elevado a menos 2 de y = seno de x DX e eu posso aplicar a integral a ambos os membros dessa equação e qual é a anti derivada de y elevado a menos 2 simples é só aplicar a regra da potência reversa nós vamos pegar y e elevar a menos de dois de mais um que vai dar menos um e dividíamos isso por menos dois mais um que vai dar menos um só que como aqui é menos um eu posso colocar nesse menos antes do Y ou seja colocar esse menos aqui e sumir com esse denominador Isso vai ser igual a anti derivada de seno e aqui você pode pensar de dois jeitos A primeira é memorizar que é integral do seno é menos cosseno ou então colocar um menos aqui é um menos aqui e lembrar que a integral de menos seno de x é cosseno de x e colocando o menos que está antes da integral e claro isso aqui é uma manipulação algébrica bastante comum quando estamos trabalhando com a integral de seno de x e claro ainda tem uma constante ser aqui porque se trata de uma integral indefinida Mas eu ainda posso ajeitar mais isso não é veja bem eu posso multiplicar ambos os membros dessa equação por menos um que vai transformar esse sinal em positivo e esse aqui também então vamos ficar com um sobre y = cosseno de x mais ser e se eu quisesse eu ainda poderia isolar o y ficando com y = 1 sobre o co a x mais cedo então essa aqui é a solução geral para essa equação diferencial e eu espero que as aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal