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Exemplo solucionado: equação a partir do campo de direções

Dado um campo de direções e algumas equações diferenciais, podemos determinar qual equação corresponde ao campo de direções considerando coeficientes angulares específicos.

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Transcrição de vídeo

RKA14C Neste exercício, vamos fazer alguma coisa diferente. Aqui nós temos o campo de inclinações. E aqui nós temos várias equações diferenciais. Vamos ver qual dessas se aplica a esse campo de inclinações. Nós podemos atribuir um valor a "x" e um valor a "y" para ficar fácil de examinar, em determinada situação, se eles se aplicam ou não. Vamos colocar "x = 1" e "y = 1", ou seja, este ponto aqui, (1 ,1), que tem esta inclinação, e vamos examinar as equações diferenciais que estão aqui. Nesta primeira equação, para "x = 1" e "y = 1", nós temos que "dy / dx" vai ser igual a "-1 / 1", ou seja, -1. O que não é verdade, porque esta inclinação aqui de jeito nenhum é -1. Então, podemos cancelar esta aqui. Vamos ver esta outra. Nós temos "dy / dx = x - y". Temos "dy / dx = x - y", que dá zero. Esta inclinação não é zero. Então, podemos cancelar essa também. Nesta outra aqui, nós temos "dy / dx = y - x". Vai ficar a mesma coisa, ou seja, "dy / dx" vai ficar "1 - 1 = 0". Esta inclinação não é zero. Vamos ver esta seguinte: "dy / dx = x + y". Então, temos "dy / dx = x + y", que dá 2. Esta inclinação pode ser 2. Realmente, se você notar, à medida que aumento o "x", essa inclinação vai crescendo. Depois, quando eu passo para o lado negativo, quando "x" é negativo e "y" é negativo, "x + y" vai dar um número negativo. Essa inclinação é negativa e cada vez vai ficando mais inclinada negativamente. Então, essa é uma forte candidata. E quando "x = 0" e "y = 0", ela não tem inclinação nenhuma. Então, esta aqui é uma forte candidata a ser a resposta correta. Vamos ver a última opção. Nós temos "dy / dx = x / y", que seria igual a 1. Ora, ela seria igual a 1, então, para (2, 2) seria igual a 1 também. Para (3, 3) seria igual a 1, para (4, 4)... e assim sucessivamente. Não é o que está acontecendo. Portanto, podemos cancelar esta. Então, a solução que nós achamos foi: "dy / dx = x + y". Se você pegar uma solução aqui, por exemplo, esta em (-6, 6), a curva pode ser algo deste tipo aqui. Uma coisa desse tipo. Se você pegar uma solução em (1, -3), a curva... Vou coloca em outra cor. A curva pode ser uma coisa deste tipo aqui. É interessante notar que, quando "x = -10" e "y = 9", neste ponto aqui, nós teremos uma solução que é (-x, -1). Ou seja, vai ser toda esta reta aqui, onde você tem a solução (-x, -1). A inclinação é -1 e está colocada -1 para a esquerda. Então, a resposta é esta. Espero que este vídeo tenha sido útil!