Verificando soluções de equações diferenciais

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos verificar soluções para equações diferenciais. Digamos que nós temos aqui a derivada de "y" em relação a "x" igual a 4y/x. E nesta aula, nós vamos ver que a solução de uma equação diferencial não é um valor ou um conjunto de valores, mas sim uma função ou um conjunto de funções. E para tentar resolver esta equação diferencial, vamos testar algumas funções e ver se elas são soluções. Então, por exemplo, será que a função y = 4x é solução desta equação diferencial? Pause o vídeo e tente descobrir. Para esta função ser solução desta equação, nós devemos derivá-la em relação a "x" e a resposta será 4y/x. E se nós derivarmos a função em relação a "x", nós devemos derivar isto aqui que vai ser igual a 4. Portanto, se substituirmos esta função no lugar do "y", isso tem que ser igual a 4. Então, 4 vai ser igual a 4y. Ou seja, 4 vezes 4x sobre "x". E eu posso cancelar este "x" com este "x", e eu vou ficar com 4 = 4 vezes 4 que é igual a 16. E 4 é igual a 16? Não! Portanto, esta função não é uma solução. Agora, vamos ver se a função y = x⁴ é solução desta equação? Vamos fazer do mesmo modo. A derivada de "y" em relação a "x" utilizando a regra da potência, vai ser igual a 4x³. Então, o que temos que fazer é pegar esta função e substituir aqui no lugar do "y" e ver se a resposta é 4x³. Então, 4x³ tem que ser igual a 4 vezes "y", sendo que "y" é x⁴/x. E aqui nós temos x⁴/x, que vai ser a mesma coisa que x³. Então, 4x³ = 4x³, o que é verdade. Portanto, esta é uma solução para esta equação diferencial. Não é a única, é uma solução. É o que chamamos de solução particular. Vamos ver outra equação aqui, que eu vou colocar com outra notação. Digamos que nós temos a derivada de "x" igual a f(x) - x. E a primeira função que eu quero testar é f(x) = 2x. Será que ela é uma solução para esta equação? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente descobrir. Primeiramente, você deve descobrir a derivada desta função. Ou seja, a derivada da função f(x) = 2. E, com isso, nós devemos testar esta igualdade f'(x) = 2. Então, vamos ter 2 = f(x), que é 2x - x. E se você resolver isso, você vai ter que 2 = x. E esta igualdade só é verdadeira quando x = 2. E, por causa disso, esta função não vai ser solução. Porque o que queremos aqui é uma solução que seja verdadeira para qualquer "x" no domínio da função. E esta função não é uma solução. Vamos testar outra função? Vamos ver se f(x) = x + 1 é solução desta equação diferencial. Vai ser a mesma coisa, primeiro nós devemos encontrar a derivada de f(x), que vai ser igual a 1. E nós devemos fazer esta comparação. E aí, vamos ter 1 = f(x), que, neste caso, é x + 1. Então, x + 1 - x. E eu posso cancelar este "x" com este "x", ficando com 1 = 1. Isto é verdade, não é? 1 = 1. Portanto, isto é válido. E, com isso, esta função é uma solução. Deixe-me descer aqui. E vamos ver o último exemplo. Vamos testar se a função f(x) igual a "e" elevado a "x" mais x + 1, é solução dessa equação diferencial. De novo, pause o vídeo e tente descobrir. Como sempre, nós devemos derivar f(x). E aí, nós vamos ter que a derivada de "e" elevado a "x" vai ser "e" elevado a "x". E a derivada de "x" é 1, e a derivada de uma constante é zero. Então, a derivada de f(x) é "e" elevado a "x + 1". E nós devemos fazer esta comparação. E aí, nós vamos ter "e" elevado a "x + 1" igual a f(x), que, neste caso, é "e" elevado a "x" mais x + 1. Então, "e" elevado a "x" mais x + 1 - x. E este "x" é cancelado com este "-x". E aí, vamos ter "e" elevado a "x" mais1, igual a "e" elevado a "x" mais 1. Isto é verdade. Portanto, esta é uma solução para a equação diferencial. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!