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Exemplo resolvido: comprimento do arco

Um exemplo cuidadosamente preparado demonstrando como a fórmula do comprimento do arco funciona.

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Transcrição de vídeo

RKA7MP - Aqui temos o gráfico da função "y" igual a "x" à potência de 3 sobre 2. E o que eu quero fazer é encontrar o comprimento de arco da curva de quando "x" é igual a zero até "x" é igual a, vou escolher qualquer número, escolhi este aqui porque faz os números funcionarem bem. "x" igual a 32 dividido por 9. 32 por 9 é a mesma coisa que 3 mais 5/9, isto é 3/2, será mais ou menos aqui. Será por aqui. Quero encontrar este comprimento de arco bem aqui, isto que estou desenhando em amarelo. Será de zero até 32/9. Como sempre, encorajo você a pausar o vídeo e tentar sozinho. Estou supondo que você tentou, mas se enquanto estiver fazendo você se sentir inspirado, fique à vontade para pausar o vídeo e continuar por conta própria. Nós vamos aplicar a fórmula do comprimento de arco da qual fizemos uma espécie de prova conceitual no vídeo anterior. Vamos lá! Nós sabemos que o comprimento do arco será igual à integral definida de zero até 32/9 da raiz quadrada. Na verdade, deixe-me escrever em termos gerais primeiro para que possamos ver o tipo de fórmula e, em seguida, como a aplicamos. Então, é a √1 mais f'(x)² dx. E, neste caso, ela será a integral definida de zero a 32/9 da √1 mais, agora, qual é a derivada? Se f(x) é "x" elevado a 3/2, f'(x) será 3/2x elevado a 1/2. Escolhemos esta função em particular porque simplifica muito bem quando colocamos sobre o radical, e é bastante simples para encontrar a antiderivada. Fizemos um monte de engenharia neste problema para os números funcionarem bem. Vamos continuar. Portanto, este é f'(x). (f'(x))² será esta quantidade ao quadrado, será 9/4x, "x" elevado a 1/2 ao quadrado é "x". Então, 1 mais 9/4x dx. Agora, nós temos uma integral definida que sabemos como resolver. Talvez, você seja capaz de resolver de cabeça. Essencialmente, fazer uma substituição em "u". Digamos que tenha 1 mais 9/4x, sua derivada é 9/4. Eu posso construir isto se eu quiser mas, em vez disto, farei uma substituição em "u". Se eu disser que "u" é igual a 1 mais 9/4x, sabemos, vamos ver, "du dx" será igual a 9/4. Ou poderíamos dizer que "du" é igual a 9/4dx. Ou poderíamos dizer que dx, vou rolar aqui um pouco para baixo, nós poderíamos dizer que o dx é igual, eu vou só multiplicar ambos os lados por 4/9, vamos para 4/9du e nós apenas temos que mudar os limites da integração. Quando "x" é igual a zero, "u" será igual a 9/4, vezes zero, é apenas zero. Então, "u" será igual a 1, enquanto "x" é igual a 32/9, e é por isso que isto foi escolhido, "u" será igual a quê? 32/9 vezes 9/4 será 32/4, que será 8 mais 1. Isto funcionou muito bem, imagine isto. Isto será igual à integral definida, deixe-me esclarecer que isto é igual a isto. A integral definida de "u" é igual a 1 até "u" é igual a 9. Deixa explícito que estou lidando com "u" agora, da √u, e em vez de dx, nós temos que dx é 4/9du. Deixe-me fazer desta maneira. √u, ao invés de dx, temos 4/9du. E eu vou tomar 4/9 e colocar aqui, e nós sabemos como aplicar o segundo teorema fundamental do cálculo para avaliar esta integral definida. Será 4/9 vezes a antiderivada da √u, que é a mesma coisa que "u" elevado a 1/2. Será "u" elevado a 3/2, e depois dividimos por 3/2 que é a mesma coisa que multiplicar por 2/3. Nós vamos avaliar isto em "u" é igual a 9 e "u" é igual a 1. E assim, estamos na reta final. Isto será igual a 4/9 vezes 2/3, vezes 9. 2/3 vezes 9 elevado a 2/3, menos 2/3 vezes 1, elevado a 3/2. Assim, 9 elevado a 3/2, vejamos, a √9 é 3, à terceira potência é 27. É isto, é claro, é 1. Ficamos com 2/3, na verdade, vamos fatorar 2/3 para ficar mais fácil. Isto será igual a 2/3 vezes 4/9 é igual a 8/27, fatorei o 2/3, então, teremos 27 menos 1 dentro, acho que poderia dizer dos parênteses, 27 menos 1 é apenas 26, vezes 26. Poderíamos, obviamente, simplificar mais se quiséssemos. 8 vezes 26, vamos descobrir isto só por diversão, 8 vezes 26 será 160, mais 8 vezes 6 é 48. Vai ser 208. Isto vai ser igual 208 sobre 27. E pronto! Nós acabamos.