Exemplo resolvido: comprimento do arco (avançado)

RKA8JV - Aqui a gente tem um gráfico da função "y = x³/6 + 1/2x". O que a gente vai fazer aqui, neste vídeo, é achar o comprimento do arco entre "x = 1" e "x = 2" que é o que está pintado aqui no gráfico, em lilás. De vídeos anteriores, a gente sabe a fórmula do comprimento do arco. Então, o comprimento do arco vai ser igual à integral do limite inferior de "x" até o limite superior de "x" da raiz quadrada de 1 + (f'(x))² dx. Então, basicamente, para este problema, para este f(x) particular, a gente só tem que achar o f'(x), fazer o quadrado dele, adicionar 1, e tirar a raiz quadrada. Vamos fazer isso passo a passo, então. Qual vai ser o f'(x)? Bom, f'(x) vai ser igual, a gente tem x³/6, vai ficar 3 vezes x²/6 Então, x²/2. Aqui a gente pode ler como 1/2 vezes x⁻¹. Então, a gente vai ficar com -1/2 vezes x⁻². Agora, quanto que vai ser f'(x)²? Na verdade, a gente pode fazer tudo que está aqui debaixo da raiz já. Quanto que vai ser 1 + f'(x)²? Então, 1 + f'(x)². Isso aqui vai ser igual a 1 mais o quadrado disso tudo aqui. Então vai ser o primeiro termo quadrado, vai ficar x⁴/4 mais 2 vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, então, 2 pode cancelar com esse 2, esse x² vai cancelar com esse x⁻². Então a gente vai ter -1/2 mais o segundo termo ao quadrado, que vai ficar mais 1/4 vezes x⁻⁴. A gente pode simplificar isso um pouco mais juntando esse 1 com este -1/2, então, isso aqui vai ficar igual a: x⁴/4, 1 - 1/2, vai dar +1/2, mais 1/4 vezes x⁻⁴. Mas isto está meio estranho ainda, porque a gente vai ter que tirar a raiz disso tudo depois. Então, vamos tentar fatorar isto, tentar deixar em uma forma de produto de quadrados perfeitos. A gente pode tentar então colocar 1/4 vezes x⁻⁴ em evidência e tentar fatorar isso aqui. Vamos ver como fica, então. Aqui para o nosso primeiro termo, fatorando, a gente vai ficar com x⁸, aqui para o 2º termo, a gente vai ficar com + 2x⁴, e para o último termo vai ser +1. E agora, a gente pode transformar isso em quadrados. Então, aqui a gente pode escrever isso como (1/2 vezes x⁻²)² vezes, aqui a gente tem um trinômio quadrado perfeito, então, a gente pode colocar (x⁴ + 1)², porque o quadrado do primeiro vai ser x⁸, 2 vezes x⁴ vezes 1, 2x⁴, mais o quadrado do segundo, 1. Então, isso aqui que a gente achou é (1 + f'(x))². Agora, o que a gente tem que fazer é tirar a raiz disso. Então, tirar a raiz disso tudo. Vai ficar 1/2 vezes x⁻² vezes x⁴ + 1. E agora que a gente tirou da raiz, a gente pode redistribuir isso aqui. Então, a gente vai ficar com 1/2 vezes x² mais 1/2 vezes x⁻². Então, só retomando, isso aqui é √1 + (f'(x))². Agora, o que a gente tem que fazer é tirar a integral definida, que a gente viu que vai ser de 1 até 2, dx, e aqui desse lado também, de 1 até 2, dx. Então, vamos fazer esse cálculo aqui. Para o primeiro termo, a gente vai ficar com 1/6 vezes x³, e para o segundo termo, a gente vai ficar com -1/2 vezes x⁻¹. E a gente tem que calcular isso, lembrando, para 1 e para 2. Agora vamos calcular isso aqui para 2, então. 2³ é 8, então vai ficar 8/6 menos 1/4. Então a gente subtrai, calculando isso agora para 1. Então, a gente tem 1/6 - 1/2. Tirando isso aqui do parênteses, a gente vai ficar com 8/6 - 1/4 - 1/6 + 1/2. Agora a gente pode achar o denominador comum entre eles. Vai ser 12. Então aqui, a gente vai ter 16/12 menos 3/12 menos 2/12 mais 6/12. Somando isso aqui, vamos ver com quanto a gente fica. 16 - 3, a gente fica com 13, -2 é 11, 11 + 6 é 17. Então, 17/12. Este é o comprimento do arco que a gente viu aqui em cima, de "x = 1" até "x = 2". Então, o comprimento desse arco vai ser 17/12.