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Exemplo resolvido: comprimento do arco (avançado)

Transcrição de vídeo

aqui a gente tem um gráfico da função y igual x ao cubo sobre seis mas um sobre 2 x 1 e o que a gente vai fazer aqui nesse vídeo e achar o comprimento do arco em 3x igual a 1 e chegou a 2 que é o que está pintado aqui no gráfico em lilás de vídeos anteriores a gente sabe a fórmula do comprimento do arco então o comprimento do arco é igual a integral do limite inferior de x até o limite superior x da raiz quadrada de um mas é filhinha de x ao quadrado de x então basicamente para esse problema para esse fdx particular a gente só tem que achar o fmi linha de x é fazer o quadrado dele adicionar um tirar a raiz quadrada vamos fazer isso passo a passo então qual que vai ser o fmi linha de x bom fmx vai ser igual a gente tem aqui x okubo sobre seis vai ficar x ou três vezes ao quadrado sobre seis então x ao quadrado sobre dois aqui a gente pode ler comum sobre 2 vezes a -1 então a gente vai ficar com menos meio vezes x a -2 agora quanto que vai ser f e x ao quadrado na verdade a gente pode fazer tudo que está aqui debaixo da raiz já quanto que vai ser o mais é fininha de x ao quadrado então um mas é filhinha de x ao quadrado vai ser igual a 1 mas o quadrado disso tudo aqui então vai ser o primeiro termo quadrado vai ficar x elevada 4 sobre quatro mas duas vezes o primeiro termo vezes segundo termo tão 2 pode cancelar com esses dois esse xis ao quadrado vai cancelar com esse xis a -2 então a gente vai ter menos meio mas o segundo termo ao quadrado que vai ficar mas um quarto vezes x elevada - 4 a gente pode simplificar isso um pouco mais de um ano e se um conhecimento no meio então isso aqui vai ficar igual à x elevada 4 sobre 41 - meio vai dar mais meio mas um sobre quatro meses x a menos 4 mas está meio estranho ainda porque a gente vai ter que tirar raiz disso tudo depois então vamos tentar faturar isso tentar deixar uma forma de produto de quadrados perfeitos a gente pode tentar então colocar um sobre quatro a menos quatro em evidência e tentar faturar isso aqui vamos ver como fica então aqui para o nosso primeiro termo faturando a gente vai ficar com um x elevado oitava aqui pro 2º termo a gente vai ficar com mais 2 x elevador 4 e por último treino vai ser um mais um e agora a gente pode transformar isso em quadrados então aqui a gente pode escrever isso como um sobre 2 vezes x a menos dois ao quadrado vezes aqui a gente tem um pequeno quadrado perfeito então a gente pode colocar x + 4 mais um elevada ao quadrado que o quadro do primeiro vai ser x a oitava duas vezes x a quarta vez 12 x a quarta mais um quadrado segundo em então isso aqui que a gente achou é um mas é filhinho de x ao quadrado e agora o que a gente tem que fazer é tirar raiz disso então tirar raiz disso tudo vai ficar 1 sobre 2 vezes x a menos 2 vezes x a quarta mais um e agora que a gente o da raiz a gente pode redistribuir isso aqui então a gente vai ficar com um sobre 2 vezes x a segunda mas um sobre 2 vezes x a -2 então só retomando isso aqui é a raiz quadrada de um mas é filhinha de x ao quadrado e agora que a gente tem que fazer é tirar a integral definida até 2x e aqui desse lado também 2 x 1 então vamos fazer esse cálculo aqui o primeiro termo a gente vai ficar com um sobre seis vezes x ao cubo e por segundo termo a gente vai ficar com menos meio vezes x a menos um ea tem calcular isso lembrando pra um e para 2 agora vamos calcular isso aqui pra dois então então dois ao cubo e 88 cestos menos um quarto então a gente subtrai calculando isso agora para um então a gente tem um sexto - um sobre dois tirando isso aqui do parêntese gente vai ficar com 8 cestos menos um quarto - um sexto mas meio agora a gente pode achar o denominador comum entre eles é vencer 12 então aqui a gente vai ter 16 sobre 12 -3 sobre 12 -2 sobre 12 mas sei sobre 12 somando isso aqui então vamos ver com quanta gente fica 16 - 37 foi com 13 -2 é 11 11 + 6 17 então 17 sobre 12 esse é o comprimento do arco que a gente viu aqui em cima de x igual até x igual a 2 então o cumprimento desse arco vai ser 17 sobre 12