Cálculo do valor médio de uma função sobre um intervalo

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? O que vamos fazer nesta aula é calcular o valor médio da nossa função no intervalo fechado de zero a 3. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho, lembrando que nós já falamos a respeito desse assunto em aulas passadas. Então, qual é o valor médio da função nesse intervalo? Para descobrir isso, primeiro vamos colocar um plano cartesiano aqui, ou seja, o eixo x e o eixo y. Tenho zero, um, dois, e três no x e vou colocar uma escala diferente no y, colocando zero, cinco e dez aqui e então vamos ter um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez no eixo y. Substituindo os valores desse intervalo nessa função, nós vamos ter que 0² vai dar zero, mais 1 vai ser 1, então o ponto (0,1) é esse. Se substituirmos o 1, vamos ficar com 1² mais 1, que dá 2, então o ponto (1,2) aqui. Substituindo o 2, vamos ficar com 2² mais 1, que vai dar 4, mais 1, igual a 5, então o ponto (2,5) está aqui. Pegando o 3 e jogando na função, nós vamos ter 3², que dá 9, mais 1, que dá 10. Então esse é o ponto (3,10), que vai ser algo mais ou menos assim. Claro que eu só estou pegando a parte do primeiro quadrante porque só estamos considerando valores para x de zero até 3. Esse é o gráfico da função y igual a f(x). O que nós queremos saber é o valor médio da função de x igual a zero até x igual a 3. Uma maneira de pensar nisso é aplicar a fórmula que já conhecemos. Mas, além disso, é importante pensar no que a fórmula representa. O ideal é não memorizar, mas sim entender o que está acontecendo. Então o valor médio da função vai ser a integral nesse intervalo, ou seja, a área sobre essa curva, que é a integral de zero a 3 de f(x), que nesse caso é x² mais 1 dx. Agora nós pegamos essa área aqui e dividimos pelo largura do intervalo, que nesse caso é 3, que vai ser a mesma coisa que multiplicar essa integral por ⅓. Agora a gente precisa avaliar isso aqui, não é? Então vamos ficar com ⅓ que multiplica a integral de x² mais 1, que vai ser (x³ sobre 3) mais x, e avaliamos de zero até 3, ficando com ⅓ que multiplica isso aqui sendo avaliado nesse intervalo. Substituindo o 3, vamos ficar com 3³, que dá 27, e dividido por 3 dá 9. Então 9 mais 3, e subtraímos isso colocando x igual a zero. Isso vai dar zero e aqui também, então menos zero. Isso vai ser igual a ⅓ vezes 12 que é igual a 4, ou seja, esse aqui é o valor médio da função. E o que isso significa? Significa que o valor médio da função está aqui e ela assume esse valor entre 1 e 2. Como eu não sei qual é, vou chamar esse x de "c". E claro, esse é o teorema do valor médio para integrais e mais a frente nós vamos estudar isso mais a fundo. Você pode ver que esse ponto parece estar na metade da curva, não é? Claro, a minha escala nem está tão perfeita assim, mas se fizer direitinho você vai ver que ele está exatamente no meio. Se pegar essa altura e construir esse retângulo aqui, você vai ver que essa área é a mesma área sob a curva, porque nós temos a altura média vezes a largura. É a mesma coisa que a área sob a curva. Eu espero que essa aula tenha os ajudado e até a próxima, pessoal!