Cálculo do valor médio de uma função sobre um intervalo

Oi e aí pessoal tudo bem o que vamos fazer nessa aula é calcular o valor médio da nossa função no intervalo fechado de 0 a 3 e eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho Lembrando que nós já falamos a respeito desse assunto em aulas passadas Então qual é o valor médio da função nesse intervalo para descobrir isso primeiro Vamos colocar um plano cartesiano aqui ou seja o eixo X e o eixo Y e aí eu tenho 10 um dois e três aqui no x e vou colocar uma escala diferente aqui no Y colocando 10 os cinco aqui e o 10 aqui e aí vamos ter um dois três quatro cinco seis sete oito nove e dez no eixo Y e substituindo valores desse intervalo nessa função nós vamos ter quiseram e vai dar zero mais um vai ser um então 1.01 é esse se substituirmos um vamos ficar com um ao quadrado mais um que dá dois então o ponto 12 aqui substituindo dois vamos ficar com 2 ao quadrado mais um que vai dar 4 + 1 = 5 então o ponto 25 está aqui pegando o três jogando na função nós vamos ter 3 ao quadrado que dá nove mais um que dá 10 Então esse é o ponto 3 10 vai ser algo mais ou menos assim claro que eu só estou pegando a parte do primeiro quadrante porque só estamos considerando valores para x de 0 até 3 Esse é o gráfico da função y = f de x e o que nós queremos saber é o valor médio da função de x = 0 até x = 3 o e uma maneira de pensar nisso é aplicar a fórmula que já conhecemos Mas além disso é importante pensar no que a fórmula representa o ideal é não memorizar mas sim entender o que está acontecendo Então o valor médio da função vai ser a integral nesse intervalo ou seja área sobre essa curva ou seja a integral de 0 a 3 de f de x que nesse caso é x ao quadrado mais um deixes E aí nós pegamos essa área aqui e dividimos pelo largura do intervalo que nesse caso é 3 que vai ser a mesma coisa que multiplicar essa integral por um terço agora a gente precisa avaliar isso aqui né Então vamos ficar com um terço que multiplica a integral de x ao quadrado mais um que vai ser x Ao Cubo sobre 3 + x e avaliamos isso de 0 até 3 e com um terço e multiplica isso aqui sendo avaliado nesse intervalo e substituindo-o três vamos ficar com três ao cubo que dá 27 e dividido por três das nove então nove mais três e subtraímos isso colocando o x igual a zero e aí isso vai dar zero e aqui também então menos 10 Isso vai ser igual a um terço vezes de 12 = 4 ou seja esse aqui é o valor médio da função e o que isso significa significa que o valor médio da função está aqui e elas uma esse valor entre 1 e 2 como eu não sei qual é eu vou chamar esse x DC e claro esse ao teorema do valor médio para integrais e mais à frente nós vamos estudar isso mais a fundo e você pode ver que esse ponto parece estar na metade da curva né claro a minha escala é tão perfeito assim né mas se você fizer direitinho você vai ver que ele está exatamente no meio Se você pegar essa altura e construir esse retângulo aqui você vai ver que essa área é a mesma área sobre a curva porque nós temos a altura média vezes a largura é a mesma coisa que a área sob a curva eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal