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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 3
Lição 10: Volume: método do disco (revolucionando em torno de outros eixos)Método do disco para rotação ao redor de uma reta horizontal
Sólido de revolução construído pela rotação ao redor de uma reta que não é um eixo. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Temos aqui a curva que representa
"y" igual à raiz quadrada de "x" e vamos agora obter um sólido
de revolução a partir dela, mas não rotacionando-a em torno
dos eixos "x" ou "y", mas em torno de alguma outra
referência qualquer. Neste caso, por exemplo, vamos
rotacioná-la ao redor da linha y = 1. A primeira coisa que vamos fazer
é visualizar o que temos aqui. Na verdade, antes disso ainda, devemos nos importar com qual
intervalo vamos considerar. Vamos combinar que o intervalo
que nos interessa aqui é o intervalo que vai deste ponto,
onde as linhas se cruzam, até o ponto onde x = 4. Este é o intervalo do gráfico
que nós vamos rotacionar. E não vamos rotacionar ao redor do eixo "x", mas ao redor desta reta y = 1. Como vai ficar isto, então? Estamos tratando de rotacionar
em torno disto aqui. Então, o que nós vamos obter é algo como isto,
lembrando um pouco um cone. É uma forma como esta aqui. Mas agora nós vamos repensar exatamente
como obter o volume deste sólido de revolução. Vamos pensar nisso disco por disco, vamos construir um disco bem aqui. Nós já fizemos isso em outras situações. Vamos obter o volume de cada disco
para depois somá-los todos. Assim, vamos poder chegar ao volume total. E, para encontrar o volume
de cada disco destes, precisamos achar a área desta face e multiplicá-la pela sua profundidade,
ou altura, como você queira chamar. Mas, como se trata de um círculo,
esta face é um círculo, a sua área é π vezes o seu raio
elevado ao quadrado. Qual é o raio deste círculo? Não é a raiz quadrada de "x", porque a raiz quadrada de "x"
é a distância do eixo "x" até o gráfico da curva "y" igual à raiz de "x". Aqui nós temos a raiz quadrada de "x",
menos 1.. Este comprimento é a raiz quadrada
de "x", menos 1, porque nós estamos descontando
a distância da reta y = 1 até o eixo "x". Isto para qualquer "x" no intervalo. Isto é, essencialmente, o valor da função para aquele ponto onde estamos considerando, menos 1, que é o valor daquilo
em volta do qual estamos girando. Isto, então, é a área da base. Temos que multiplicar pela altura
deste cilindro. E altura dele é dx, o elemento dx. Ou seja, o volume de cada um destes discos é: π vezes a raiz quadrada de "x", menos 1,
ao quadrado, vezes dx. É isso que queremos somar no intervalo. E o intervalo começa aqui, onde "x" vale 1, porque a raiz quadrada de 1 é 1, até... Já tínhamos combinado no começo... quando x = 4. Cuidado aqui para não confundir a reta y = 1 com o eixo "x". Quando estamos calculando a integral
de 1 a 4 de raiz quadrada de x - 1, estamos tomando esta área para depois
rotacionar em torno de y = 1. Esta integral definida vai nos dar
o volume do sólido de revolução. Agora, temos que calcular esta integral. Reescrevendo a integral, vamos ter
o π do lado de fora e eu vou também desenvolver o que
está entre parênteses, que é a raiz quadrada de x - 1, tudo ao quadrado, que é a mesma coisa que raiz quadrada
de x - 1, vezes raiz quadrada de x - 1. Raiz quadrada de "x" vezes ela mesma
resulta em "x". -1 vezes raiz quadrada de "x" dá menos
raiz quadrada de "x" e isso se repete de novo aqui no
raiz quadrada de "x" vezes -1. E -1 vezes -1 dá + 1. Escrevendo novamente aqui na integral,
já de maneira um pouco mais simples, nós vamos ter "x" menos 2 vezes
a raiz quadrada de "x", mais 1. E tudo isso vezes dx. Esta é a integral que precisamos calcular. Isto tudo vai ser igual a π vezes toda
esta integral. Vamos lá. A antiderivada, ou integral, de "x", é x²/2, menos 2 vezes... Agora a antiderivada
da raiz quadrada de "x", lembrando que a raiz quadrada de "x"
é "x" elevado a 1/2. Podemos usar a regra da potência para
fazer a antiderivada. Então, "x" elevado a 1/2. Aumentando 1 no
expoente, vamos ter "x" elevado a 3/2, vezes 2/3. Escrevendo melhor, 2/3 vezes "x" elevado a 3/2. Para fazer mais devagar, este -2 é o quevocê está vendo aqui. E esta expressão bem aqui é a antiderivada
da raiz quadrada de "x". Você pode verificar isso facilmente fazendo
a derivada de 2/3x elevado a 3/2 e vai voltar para a raiz quadrada de "x". Agora, a primitiva ou antiderivada de 1,
que é simplesmente "x". Agora vamos ter que calcular isto para
"x" indo de 1 até 4. Vai dar π vezes... Colocando 4 lugar do "x",
vamos ter 4²/2, menos... 2 vezes 2/3 fica 4/3. Agora, 4 elevado a 3/2. 4 elevado a 1/2 é a raiz quadrada de 4,
que dá 2. E agora, elevado à terceira potência,
temos 8, mais o "x", que é 4. Agora, devemos subtrair toda esta expressão
com 1 no lugar do "x" Temos os primeiros parênteses indicando
quando "x" era 4, menos... E agora, neste segundo par de parênteses, vamos trocar o "x" por 1. Quando "x" vale 1, a primeira fração é 1²/2,
que é 1/2. No segundo termo, 1 elevado a
qualquer outro expoente é 1, Portanto, ficamos com -4/3, apenas. E o +x é simplesmente +1. Agora vamos simplificar tudo isto aqui. Temos π vezes, abre parênteses: 4² são 16, dividido por 2 = 8. Menos... 4 vezes 8 são 32, sobre 3, mais 4. Agora, já distribuindo o sinal de menos,
vamos ter -1/2 menos -4/3, ou seja, +4/3, e -1. Vamos ter π, que mulitplica... Agora vamos achar o MMC de todos
os denominadores, que é 6. Arrumando os numeradores, 8
é a mesma coisa que 48/6. Aqui o denominador era 3, então,
vamos ter que multiplicar por 2 para ficar equivalente, vamos ter 64. Mais... O 4 vai se tornar 24/6,
então aqui é 24. Menos... 1/2, o denominador era 2.
Multiplicado por 3 para chegar em 6, então, o numerador fica 3. Mais... O 4 também vai ser multiplicado
por 2. Vai ser 8. E -1 vezes 6 são -6. Agora só mais um pouquinho de aritmética
aqui para ver onde chegamos. 48 - 64 são -16. -16 + 24 são 8 positivos. 8 - 3 = 5, mais 8 são 13, e menos 6 são 7, sobre 6. Ou seja, este volume que estamos
procurando é 7π/6. Com isso, concluímos e calculamos
o volume deste sólido de revolução. Até o próximo vídeo!