Área horizontal entre curvas

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos estudar área horizontal entre curvas E para isso eu tenho essa curva azul e essa curva laranja e essa área aqui entre elas e a grande diferença aqui é que nós estamos acostumados a ver coisas de y em função de x mais aqui nós temos X em função de y e por isso podemos escrever essa função como fdy e o mês de uma acontece com essa função eu posso reescrever ela como gdy mas como eu já falei nessa aula nossa preocupação vai ser descobrir essa área limitada entre as duas Curvas e eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho Ok A grande diferença aqui é que nós vamos integrar a função em relação à Y ou seja nós vamos utilizar uma integral definida e os nossos limites estão em termos de y mas o que isso significa veja bem esse aqui é o ponto de interseção inferior das duas curvas Esse vai ser o nosso limite inferior em termos de y que eu posso chamar de y un e esse aqui é o limite superior que podemos chamar de Y2 a ideia simples você tem que procurar os pontos Aonde a escovas estão se interceptando e procurar o correspondente Y desse ponto esses dois aqui são os limites de integração ou seja vamos ter a integral de y é um Y 11 até Y2 que eu posso colocar aqui e claro nós vamos integrar em relação à Y por isso de y aqui e como podemos calcular essa área simples nós vamos utilizar a soma de retângulos e a mente pequenos e vamos calcular a área de cada um sendo que essa altura é de y isso porque tem uma altura muito pequena ou seja uma diferenciação muito pequena e qual seria a base desse retângulo se você perceber nesse intervalo de y até Y2 a nossa função Azul assumir valores maiores do que a função laranja portanto esse comprimento vai ser igual a fdy - eggy e como queremos saber a soma desses vários retângulos nós utilizamos a integral de y até y2d fdy - gdy até aqui parece algo simples né porque nós conhecemos fdy eggy a dificuldade maior está em encontrar esses limites de integração para descobrir e nós temos que pensar onde essas curvas se interceptam se você perceber ambas são iguais a x com isso nós podemos igualar essa equação a essa aqui ou seja podemos colocar menos y ao quadrado + 3y + 11 = y ao quadrado + Y - 1 e podemos subtrair anos os membros dessa equação por toda essa expressão ficando com menos y ao quadrado + 3y + 11 menos y ao quadrado menos y + 1 = 0 e nós podemos ajeitar isso aqui ficando com menos dois y ao quadrado + 2Y + 12 = 0 Observe que todos esses termos eles são múltiplos de 2 e podemos colocar o menos dois em evidência que e y ao quadrado menos y - 6 = 0 ou seja se você multiplicar menos dois por isso aqui vai dar essa expressão e você pode faturar essa expressão do 2º grau ficando com Y - 3 que multiplica Y mais de dois e ainda tem um menos dois aqui e a expressão tem que ser igual a zero esse três coisas estão se multiplicando e o resultado está dando do zero uma delas tem que ser zero ou menos dois não é igual a zero Então esse Y - 3 = 0 ou esse Y + 2 = 0 nesse caso o y vai ser igual a três enquanto nesse aqui vai ser igual a menos dois é claro você poderia resolver isso aqui com uma fórmula de resolução da equação do segundo grau mas assim fica mais fácil né então o limite inferior vai ser Y = - 2 o superior vai ser Y = 3 com isso nós devemos avaliar a integral de menos 2 até 3 vamos fazer isso então deixa eu apagar tudo isso aqui para ficar melhor de fazer então isso vai ser igual a integral de menos de 2 até 3 de fdy e nesse caso é menos y ao quadrado + 3y + 11 - gdy que a isso aqui e como eu vou subtrair o sinal de todos esses termos vão mudar então vamos ficar com menos y ao quadrado menos y + 1 de y Isso vai ser igual a integral de menos de 2 até 3 disso aqui que se ajeitar mos vamos ficar com menos de 2 y ao quadrado + 2Y + 12 de y e o que temos que fazer um simples achar a anti derivada de isso aqui então vamos ficar com a integral de - 2Y que vai ser menos dois Y elevado a 2 mais um que vai dar Y elevado a 3 / 2 de mais um que dá três e integrando isso aqui e simplificando vamos ficar com y ao quadrado e somamos isso com a integral de 12 que a mesma coisa que 12y e nós podemos avaliar isso no intervalo de menos de 2 até 3 ou seja nós vamos utilizar O Teorema Fundamental do Cálculo que é a mesma coisa que pegar esse três e substituir aqui ficando com menos 2 vezes três Ao Cubo que a mesma coisa que 27 e dividimos isso por três tomando com 3 ao quadrado que dá nove umas 12 vezes 3 que dá 36 e subir é isso substituindo esse menos dois aqui no lugar do Y ficando com menos de 2 e multiplica menos de dois ao cubo que dá - 8 / 3 + - 2 ao quadrado = 4 - 24 porque 12 x - 2 = - 24 esse resolvermos isso esse três pode ser simplificado com esse 27 ficando com 9 e ainda tem o menos de dois multiplicando aqui fazendo com que toda essa expressão seja igual a menos 18 e somamos com 9 mais 36 que dá 45 e subtraímos por tudo isso aqui e que vai dar menos 2 vezes menos oito vai dar 16 positivo dividido por três Então vamos ficar com 16 terços e umas 4 - 24 é igual a menos 20 e menos 18 mas 45 = 27 - 1632 - 20 e que resolvendo = - 44 terços e ainda tem um menos aqui então isso aqui vai ser igual a 27 mais 44 terços e se resolvermos isso aqui vai ser a mesma coisa que 125 terços unidade diária e claro ainda podemos transformar isso aqui em uma fração mista que a mesma coisa que 41 inteiros e dois terços e eu espero que é sala tenha te ajudado e até a próxima pessoal