Análise de problemas com integrais definidas

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer uma análise de problemas envolvendo integrais definidas. E, para isso, nós temos o seguinte. A população de uma cidade cresce com uma taxa de r(t) = 300 vezes "e" elevado a 0,3t pessoas por ano. Onde "t" é o tempo em anos. No momento "t = 2", a população da cidade é de 1200 pessoas. Qual é a população da cidade em "t = 7"? Qual expressão podemos usar para resolver o problema? Ou seja, uma destas expressões consegue resolver este exercício. E eu sugiro que você pause o vídeo e tente descobrir qual é. Vamos olhar o que temos aqui. Bem, nós temos a função da taxa bem aqui. Portanto, se quisermos encontrar a mudança na população de um tempo para o outro, o que você pode fazer é pegar a integral da função da taxa de "t = 2" anos até "t = 7" anos. Então, a integral de 2 a 7 de r(t) dt. Ou seja, isto aqui vai nos dar a mudança da população de 2 até 7 anos. Ou seja, isto aqui vai nos dar a mudança na população. Mas o exercício não quer isso. O que ele quer é saber qual é a população em "t = 7" anos. E esta integral representa a mudança de 2 até 7 anos da população da cidade. Ou seja, não considera o que vem antes de 2 anos. E, para resolver isso, quando o tempo é igual a 2 anos, a população da cidade é de 1200 pessoas. Ou seja, nós devemos somar 1200 pessoas a esta integral. É o que temos aqui nesta alternativa "d". Nós podemos até olhar as outras alternativas aqui rapidamente. Esta alternativa "b" está incorreta, porque ela é apenas a mudança na população. É somente esta parte. Esta integral nos diz quanto a população aumentou de 2 até 7 anos, e não é isso que queremos. A alternativa "c" é o quanto a população aumentou de zero até 7 anos. E esta alternativa pode até te confundir um pouco. Você pode pensar: espere aí, esta não é a população da cidade? Sim, mas neste caso está considerando que não existem pessoas no tempo zero. E você não pode ter certeza disso. Talvez a cidade iniciou com 10, 15, 20 pessoas, não dá para saber ao certo quantas tinham inicialmente. Portanto, esta alternativa também está incorreta. E esta aqui é uma diferença entre derivadas. Com toda certeza também não é! E vamos fazer mais um exemplo? E temos o seguinte: a profundidade da água em um tanque está variando a uma taxa r(t) = 0,3t centímetros por minuto. Onde "t" é o tempo em minutos. No momento "t" igual a zero, a profundidade da água mede 35 cm. Qual a variação na profundidade da água durante o quarto minuto? Qual expressão podemos usar para resolver o problema? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. O que queremos saber aqui é qual a variação na profundidade da água durante o quarto minuto. Vamos pensar o seguinte, quando queremos encontrar a mudança em um valor, você pode pegar a integral da função da taxa ao longo do tempo apropriado. E o que queremos saber aqui é durante o quarto minuto. Então, nós queremos a integral da função da taxa. Ou seja, a integral de r(t) dt. E todas estas alternativas têm essa função da taxa, não é? Por isso, esta parte aqui é muito importante. Mas por quê? Deixe-me mostrar isso aqui colocando um plano cartesiano. Sendo que aqui nós vamos ter y = r(t) em função do tempo. O primeiro minuto vai de zero até 1, o segundo de 1 até 2, o terceiro de 2 até 3 e o quarto de 3 até 4. Então, o gráfico desta função aqui é uma reta começando aqui na origem, já que nós não temos um tempo negativo. E o quarto minuto está neste intervalo aqui, e que é representado por esta área sob a curva. E como eu disse, quando queremos calcular a área sob curvas, nós utilizamos integrais. E o limite inferior é 3 enquanto o limite superior é 4. Então, a integral desta função de 3 até 4 minutos, que é o que está aqui nesta alternativa. Todas as outras alternativas estão com os limites de integração errados. E note, esta alternativa "d". Ela está querendo saber a variação de 3 para 3 minutos. Ou seja, não tem mudança, porque o tempo não variou. Com isso, estas alternativas estão incorretas. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!