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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 3
Lição 3: Aplicações de integrais não relacionadas a movimento- A área sob uma função de taxa nos dá a variação líquida
- Interpretação de integrais definidas como uma variação líquida
- Exemplos resolvidos: interpretação de integrais definidas em contexto
- Como interpretar integrais definidas em um contexto
- Análise de problemas com integrais definidas
- Análise de problemas com integrais definidas
- Análise de problemas com integrais definidas
- Exemplo resolvido: problema envolvendo uma integral definida (algébrico)
- Problemas envolvendo integrais definidas (algébricos)
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A área sob uma função de taxa nos dá a variação líquida
Se você tiver uma função que representa a taxa, o que a área sob sua curva representa?
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Vamos imaginar que
nós temos uma partícula se movimentando ao longo
de uma trajetória com uma velocidade igual
a 5 metros por segundo. Nós vamos ter aqui uma partícula se movimentando com essa velocidade aqui, velocidade em relação ao tempo, sendo igual a 5 metros por segundo. Se essa velocidade for positiva, significa que a partícula
está indo para a direita. Caso a velocidade fosse negativa, significaria que a partícula
estaria indo para a esquerda. Mas nós temos uma velocidade
positiva aqui. A velocidade, na verdade,
está indicando para a gente uma taxa de variação de alguma coisa
sobre alguma outra coisa. Neste caso aqui, é a taxa
de variação da distância em relação à variação de tempo. Nós poderíamos dizer que essa velocidade corresponde à variação da distância. Ou seja, Δd em relação ao intervalo
de tempo, que é Δt. Supondo agora que a gente
saiba dessa velocidade, a gente queira determinar
a variação da distância. Ou seja, a distância percorrida
por essa partícula em relação ao intervalo
de tempo igual a 4 segunds. Quando a gente diz que a gente tem uma
variação de tempo em 4 segundos, a gente poderia ter, por exemplo, um intervalo de tempo passando
de um tempo igual a zero até um instante de tempo
igual a 4 segundos. Isso é o que indica para a gente
essa variação de tempo. Lembrando que, como já falei, a velocidade de uma partícula vai ser
igual à taxa de variação da distância que, nesse caso, é Δd
em relação ao tempo Δt. Vai ser Δd sobre Δt. Nós vamos ter Δd sobre Δt. Sabendo que a gente já tem a velocidade
e um intervalo de tempo, e a gente queira determinar
essa variação de distância, ou seja, o Δd, basta a gente multiplicar a velocidade
pelo intervalo de tempo. Assim, a gente vai ter, que Δd é a distância percorrida pela partícula
desde o instante de tempo igual a zero até um instante de tempo
igual a 4 segundos. Vai ser igual a velocidade dessa partícula vezes o intervalo de tempo Δt. Como a gente já conhece a velocidade
e o intervalo de tempo, basta substituir os valores aqui. Assim, a gente vai ter uma velocidade
que é igual a 5 metros por segundo. Talvez a gente até coloque
5 metros por segundo, vezes o intervalo de tempo
que é 4 segundos. Isso vai ser igual a 5 vezes 4,
é igual a 20. Mas 20 o quê? A gente tem esse segundo
aqui no denominador e esse segundo no numerador. A gente corta esse com esse,
ficando apenas com o metro. A gente vai ter uma distância
percorrida por essa partícula ao longo desses 4 segundos sendo igual a 20 metros. Essa é uma forma de determinar
essa distância, essa variação da distância
desses 4 segundos. Mas a gente também poderia fazer
isso de uma forma gráfica. Como? Plotando um gráfico da velocidade
em relação ao tempo. A gente teria, no eixo "y", a velocidade medida em metros por segundo, claro. Aqui, no eixo "x", a gente teria
o nosso tempo, medido em segundos. A gente teria aqui alguns
instantes de tempo, por exemplo, tempo zero, tempo 1, tempo 2 tempo 3, tempo 4, tempo 5
e assim sucessivamente. E aqui a gente teria as velocidades
1, 2, 3, 4, 5. Como a velocidade dessa partícula é
constante ao longo desses 4 segundos, a gente teria uma reta
horizontal desse jeito. Já que a velocidade é constante. Ao longo de todo esse intervalo de tempo, a velocidade não está mudando. Isso é indica para a gente essa velocidade em relação ao tempo. Essa é a função da velocidade
em relação ao tempo. Como nós queremos saber a distância percorrida por essa partícula ao longo desses 4 segundos, a gente teria aqui 1, 2, 3, 4,
teria apenas isso aqui, essa reta indicando esse
tempo igual a 4 segundos. Para determinar essa distância aqui agora, bastaria apenas calcular
a área abaixo dessa curva neste intervalo de tempo,
indo de zero a 4 segundos. A gente vem aqui e calcula
a área abaixo dessa curva e qual seria a área abaixo dessa curva? Aqui, nós temos um retângulo. E como a gente consegue determinar
a área de um retângulo? Multiplicando o comprimento da base com o comprimento da altura. Assim, a gente teria 4 vezes 5,
que é igual a 20. A gente teria 20 que corresponde
aqui para a gente a distância percorrida, ou seja, o Δd realizado, percorrido por essa partícula
ao longo desses 4 segundos. Note que isso serve para qualquer função
que a gente tiver uma taxa de variação. Todas as vezes que a gente tem um gráfico que representa essa taxa de variação
em relação ao tempo, para determinar essa variação
aqui percorrida ou realizada, basta calcular a área abaixo da curva nesse intervalo considerado. Agora vamos supor que
a gente tem um outro caso, vamos supor que a velocidade de
uma partícula em relação ao tempo seja igual a 1 metro por segundo no intervalo de tempo indo de zero, menor ou igual ao tempo, que é menor ou igual a 2. 2 segundos, nesse caso. E essa velocidade vai ser igual a
2 metros por segundo em qualquer tempo que seja
maior que 2 segundos. A gente pode utilizar
esses dados e calcular a distância percorrida por uma partícula ao longo de um intervalo de tempo também utilizando um método gráfico. Vamos supor que a gente queira determinar
a distância percorrida por essa partícula em um intervalo de tempo que vai
do tempo igual a zero até um tempo igual a 5 segundos. Vamos, novamente, traçar aqui
o nosso gráfico. Isso dá a velocidade. Novamente, essa velocidade está
medida em metros por segundo. E, aqui na horizontal, o nosso tempo, nosso eixo do tempo, a gente tem aqui o 1, 2, 3, 4, 5 e 6. E a gente quer calcular aqui, determinar a distância percorrida
por essa partícula desde o tempo igual a zero
até o tempo igual a 5. Como a gente tem duas velocidades aqui, a gente pode dividir a resolução
desse problema em duas partes. Inicialmente, a gente vai
calcular a distância nesse intervalo de tempo,
indo de zero a 2. E depois do tempo igual a 2
até 5 segundos. Vamos demarcar aqui também,
que a gente tem uma velocidade igual a 1 e aqui uma velocidade igual a 2. A gente sabe que, no intervalo de tempo, indo de zero até 2, a nossa velocidade
é igual a 1 metro por segundo. A gente vem traça aqui a reta que representa a função da velocidade
nesse intervalo de tempo. Sabendo que aqui a gente
tem um intervalo fechado, já que o tempo é menor ou igual a 2. E calcula a área abaixo dessa curva. Como a gente consegue
determinar dessa curva? Como a gente consegue determinar
a área abaixo dessa curva? Novamente, multiplicando o
comprimento da base com a altura. Sabendo que aqui vale 1 e aqui vale 2. Aqui a gente tem 2 na base e 1 na altura, 2 vezes 1 é igual a 2. A área abaixo dessa curva aqui
é igual a 2. A gente já sabe que de zero a 2 segundos, a partícula percorreu 2 metros. A gente vai fazer o mesmo agora num instante de tempo igual a 2
até o instante de tempo igual a 5. A gente sabe que daqui, no instante de tempo igual a 2 em diante, a velocidade vai ser igual a
2 metros por segundo. Lembrando que aqui
é um intervalo aberto. Uma coisa interessante e um
comentário que a gente precisa fazer. Para essa partícula mudar
instantaneamente, seria necessário que a força aplicada
sobre a partícula fosse infinita. Ou que a massa dessa partícula
seja infinitamente pequena. Uma coisa que, de fato,
não existe na realidade. Isso aqui é só para a gente observar
um exemplo matemático. Sabendo que a gente quer
a área até o tempo igual a 5, vamos calcular a área
aqui abaixo da curva. A gente tem um comprimento
de base sendo igual a 3 e aqui a altura sendo igual a 2. 3 vezes 2 é igual a 6. A área aqui é igual a 6, que corresponde
à distância percorrida pela partícula do instante de tempo igual a 2
até o instante de tempo igual a 5. Como nós queremos saber a distância total percorrida por essa partícula desde o instante de tempo igual a zero até o instante de tempo igual a 5, basta somar essas duas áreas, 2 mais 6 é igual a 8 metros. Essa aqui é a distância percorrida
por essa partícula nesse intervalo de tempo.