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Exemplo resolvido: problema envolvendo uma integral definida (algébrico)

Uso da integral definida para resolver um problema sobre o crescimento populacional de uma cidade.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício envolvendo integral definida. E, para isso, nós temos o seguinte aqui. A população de uma cidade cresce a uma taxa de "e" elevado a 1,2t - 2t habitantes por ano. Onde "t" é o número de anos. Em "t = 2 anos", a cidade tem 1500 habitantes. Aproximadamente, quanto a população cresce entre "t = 2" e "t = 5"? E qual é a população da cidade em "t = 5"? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Ok, vamos lá! Se você descobrir esta primeira pergunta, a segunda pergunta fica bem mais fácil. Isso porque vamos descobrir quanto cresce entre "t = 2" e "t = 5" e depois somamos com 1500 habitantes. E o segredo é olhar para esta expressão, que é a taxa de o quão rápido a população está crescendo. E, claro, nós já vimos em diversos vídeos a noção de curva de taxas. Deixe-me colocar aqui um plano cartesiano para dar uma revisada nisso. Aqui eu tenho o eixo "t" e aqui a taxa de mudança em função do tempo. Ou seja, esta curva vai ser algo mais ou menos assim. Então, basicamente, neste tempo aqui esta vai ser a nossa taxa. Isso nos diz, por exemplo, qual é a taxa de variação de uma população. E nós vimos em aulas passadas que se nós quisermos essa mudança, ou seja, a taxa de mudança, você deve encontrar a área sob a curva em dois momentos apropriados. Mas por que isso faz sentido? Imagine uma pequena mudança no tempo aqui. É uma mudança tão pequena que você pode assumir que a sua taxa é aproximadamente constante. Digamos, uma pequena mudança na população, algo bem pequeno mesmo. Esta taxa de mudança que nós podemos chamar de acumulação, vai ser a sua taxa vezes a variação no tempo. Portanto, esta aqui seria a área sob a curva nesta mudança de tempo bem pequena. E o que queremos neste exercício é encontrar a área sob esta curva de "t = 2" até "t = 5". E já vimos diversas vezes que, para fazer isso, nós podemos utilizar a integral, que vai ser a soma de todas aquelas pequenas áreas. Então, a integral de "t = 2" até "t = 5", desta expressão. Ou seja, de "e" elevado a 1,2t - 2t dt. Então, resolvendo esta integral, nós vamos ter a resposta desta primeira pergunta. E qual vai ser a resposta disso aqui? Vamos resolver isso separadamente. E a integral de "e" elevado a 6/5t, que é a mesma que 1,2 vezes (t) dt, você pode resolver colocando um 6/5 aqui. E aí, você vai poder utilizar a regra da substituição, mas isso iria alterar o valor da integral. Por isso que eu coloco um 5/6 aqui antes da integral. Porque se multiplicarmos estas duas coisas, isso vai ser igual a 1. Então, isso vai ser igual a 5/6, que é este 5/6 aqui, vezes a antiderivada disso. E, claro, você pode resolvê-la utilizando substituição. Chamando isto aqui de "u", e isto aqui junto disto seria o seu "du". E que se você resolver, isso vai ser igual a "e" elevado a 6/5t + c, porque temos uma integral indefinida neste caso. Enfim, se você fizer a substituição e fizer todas as contas, você vai ver que, de fato, esta aqui é a integral. Então, isto vai ser igual à integral disto aqui que vai ser 5/6 vezes "e" elevado a 6/5t. E eu não preciso colocar o "c", porque agora temos uma integral definida. E a integral deste -2t vai ser -t². Então, -t². E nós vamos avaliar isso de 2 até 5. E como fazemos isso? Pegamos este valor, substituímos na expressão e subtraímos pelo valor da expressão quando colocamos o 2. é o que chamamos de Teorema Fundamental do Cálculo. E quando substituímos o 5, vamos ficar com 5/6 que multiplica "e" elevado a 6/5 vezes 5, que vai ser a mesma coisa que 6. Então, "e" elevado a 6 - 5² que vai dar 25. E subtraímos isso pelo valor numérico da expressão quando "t = 2". E aí, vamos ficar com 5/6 vezes "e" elevado a 6/5 vezes 2, que vai dar "e" elevado a 12/5, que é a mesma coisa que 2,4 - 2² que vai dar 4. Então, -4. E será que tem algum jeito de simplificar esta expressão? Observe, tem 5/6 aqui e 5/6 aqui. Ou seja, eu posso colocá-lo em evidência. E aí, vamos ficar com 5/6 que multiplica "e" elevado a 6 menos "e" elevado a 2,4. Isso porque tem este "menos" multiplicando a expressão. Então, "-e" elevado a 2,4. E ainda tem um -25 aqui e um menos -4. Com isso, vamos ficar com -25 + 4 que vai dar -21. E aí, eu precisaria de uma calculadora para resolver isso, não é? E colocando a minha calculadora aqui, eu tenho que "e" elevado a 6 vai ser igual a 403 vírgula um número bem grande. E eu subtraio isso por "e" elevado a 2,4. Isto vai ser igual a 392,4056 e assim por diante. E eu ainda tenho que multiplicar por esse 5/6. Então, eu pego aqui e multiplico por 5/6 e subtraio de 21. Ou seja, aproximadamente, 306. E que podemos aproximar para duas casas decimais, ficando com aproximadamente 306. Ou seja, quanto a população cresce entre "t = 2" e "t = 5"? Aproximadamente, 306 pessoas. Então, a resposta desta pergunta é aproximadamente 306 habitantes. E para responder a segunda pergunta, como fazemos? Em "t = 2", a cidade tinha 1500 habitantes. Então, 1500 habitantes e neste intervalo aumentou aproximadamente 306 habitantes. Então, mais 306 habitantes, o que vai dar 1806 habitantes em "t = 5" anos. E eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!