Exemplo resolvido: problema envolvendo uma integral definida (algébrico)

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos fazer um exercício envolvendo integral definida E para isso nós temos o seguinte aqui a população de uma cidade cresce a uma taxa de é elevado a 1,2 te - 2T habitantes por ano onde ter é o número de anos entre igual a dois anos a cidade tem 1.500 habitantes aproximadamente quanto a população cresce entre tem igual a 2 e t = 5 e qual é a população da cidade em t = 5 eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho Ok vamos lá Se você descobrir essa primeira pergunta a segunda pergunta fica bem mais fácil isso porque vamos descobrir Quanto cresce entre T = 2 e t = 5 e depois somamos com 1.500 habitantes e o segredo é olhar para essa expressão que a e o quão rápido a população está crescendo e claro nós já vimos em diversos vídeos a noção de curva de taxas deixa eu colocar aqui um plano cartesiano para dar uma revisada nisso aqui eu tenho o eixo te e aqui a taxa de mudança em função do tempo ou seja essa curva vai ser algo mais ou menos assim então basicamente nesse tempo aqui essa vai ser a nossa taxa isso nos diz por exemplo Qual é a taxa de variação de uma população e nós vimos em aulas passadas que se nós quisermos essa mudança ou seja a taxa de mudança você deve encontrar a área sob a curva em dois momentos apropriados mas porque isso faz sentido imagina uma pequena mudança no tempo aqui é uma mudança tão pequena que você pode assumir que a sua taxa é aproximadamente constante digamos uma pequena mudança na população algo e no mesmo essa taxa de mudança que nós podemos chamar de acumulação ela vai ser a sua taxa vezes a variação no tempo portanto essa aqui seria a área sob a curva nessa mudança de tempo bem pequena e o que queremos nesse exercício é encontrar a área sobre essa curva de T = 2 até ter = 5 e já vemos diversas vezes que para fazer isso nós podemos utilizar a integral que vai ser a soma de Todas aquelas pequenas áreas então a integral de T = 2 até igual a cinco dessa expressão ou seja dia ^ 1,2 T - 2 TT então resolvendo essa integral nós vamos ter a resposta dessa primeira pergunta E qual vai ser a resposta disso aqui vamos resolver isso separado e a integral Di é elevado a 6 quintos de ter que a mesma eu vi um vírgula dois XT DT você pode resolver colocando um 6 500 aqui e aí você vai poder utilizar a regra da substituição mas isso iria alterar o valor da integral por isso que eu coloco um cinco sextos aqui antes da integral porque se multiplicarmos essas duas coisas isso vai ser igual a um então isso vai ser igual a cinco sextos que é esse cinco sextos aqui vezes a anti derivada disso e claro você pode resolver lá utilizando substituição chamando isso aqui de U isso aqui junto com isso seria o seu deu e que se você resolver isso vai ser igual a é elevado a 6 quintos de ter mais cedo porque temos uma integral indefinida nesse caso né enfim se você fizer a substituição e fazer todas as contas você vai ver que de fato essa aqui é a integral então isso vai ser igual a integral o quê que vai ser cinco sobre 6 x elevado a 6 quintos de e eu não preciso colocar os E por que agora temos uma integral definida e a integral desse menos de dois te vai ser menos ter ao quadrado então - t ao quadrado e nós vamos avaliar isso de 2 até 5 e como fazemos isso pegamos esse valor e substituímos Na expressão e subtraímos pelo valor da expressão quando colocamos o dois é o que chamamos de Teorema Fundamental do Cálculo e quando substituímos os cinco vamos ficar com cinco sextos que multiplica é elevado a 6 5 x 5 que vai ser a mesma coisa que seis então é elevado a 6 menos 5 ao quadrado que vai dar 25 e subtraímos isso pelo valor numérico da expressão quando T = 2 E aí vamos ficar com 5 cestos o elevado a 6 quintos x 2 que vai dar é elevado a 12 sobre cinco O que é a mesma coisa que 2,4 - 2 ao quadrado que vai dar quatro então -4 e será que tem algum jeito de simplificar essa expressão Observe tem um cinco sextos aqui e 1562 aqui ou seja eu posso colocar ele em evidência E aí vamos ficar com cinco sextos que multiplica é elevado a 6 - é elevado a 2,4 isso porque tem esse - multiplicando a expressão então menos é elevado a 2,4 e ainda tem um menos 25 aqui e 1 - -4 com isso vamos ficar com menos de 25 mais quatro que vai dar menos 21 E aí Eu precisaria de uma calculadora para resolver isso né e colocando a minha calculado e eu tenho o que é elevado a 6 vai ser igual a 403, um número bem grande e eu subtraiu isso por é elevado a 2,4 isso vai ser igual a 392, 4056 e assim por diante E eu ainda tenho que multiplicar por esse cinco sextos então eu pego aqui e multiplico por 5 / 6 e subtraiu de 21 ou seja aproximadamente 306 né E que podemos aproximar para duas casas decimais ficando com aproximadamente 306 ou seja quanto a população cresce entre T = 2 e t = 5 aproximadamente 306 pessoas então a resposta dessa pergunta é aproximadamente 306 habitantes e para responder a segunda pergunta como fazemos é inteiro igual a dois a cidade tinha milk e antes então 1.500 habitantes e nesse intervalo aumentou aproximadamente 306 habitantes Então umas 306 habitantes o que vai dar 1806 habitantes em t = 5 anos e eu espero que a sala tenha te ajudado e até a próxima pessoal