Exemplos resolvidos: interpretação de integrais definidas em contexto

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer alguns exemplos interpretando o significado de uma integral definida. E, para isso, temos o seguinte aqui. A receita de Júlia é de r(t) mil reais por mês, em que "t" é o mês do ano. Júlia havia faturado 3 mil reais no primeiro mês do ano. O que significa esta igualdade? Escolha uma alternativa. Então, eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Vamos lá, então! Observe que a Júlia havia faturado 3 mil reais e aqui também tem um 3, o que pode ser algo interessante. Ou seja, talvez, tenhamos a mesma coisa, não é? Ainda não temos certeza disso, mas vamos analisar com calma. Observe esta integral que vai de 1 até 5 de r(t) dt, o que ela significa? Ela significa que a área sob esta curva mais 3 é igual a 19. Ou seja, se você pegar a área sob esta curva, você vai ter a receita líquida entre o mês 1 e o mês 5. E se você adicionar isso a este 3 aqui que, de fato, é o que ela fez no primeiro mês, isso vai nos dar o total da receita dela entre o mês zero e o mês 5. E isto vai ser igual a 19. Agora que entendemos a igualdade, vamos analisar cada um dos itens. Vamos lá! Julia faturou 19 mil reais a mais entre os meses 1 e 5. Isto seria verdade, se você não tivesse este 3 aqui. Porque esta integral está definida de 1 até 5. Mas, ainda somamos com 3 para dar 19. Se isto aqui fosse 16 mil reais a mais, até que daria, não é? Porque 16 mais 3 daria 19. Mas não é o que está escrito. Portanto, este item está incorreto. Na segunda alternativa, nós temos: Julia faturou uma média de 19 mil reais por mês. Isso também não é verdade. Porque a equação diz que a Júlia faturou 3 mil reais no primeiro mês e depois somou com esta parte, dando 19 mil reais. Ou seja, não 19 mil por mês. Então, a segunda alternativa também não está correta. Na terceira alternativa nós temos: Júlia faturou 19 mil reais no quinto mês. De novo, não é isso que a igualdade está dizendo. O que a igualdade está dizendo é que ela faturou 3 mil no primeiro mês e depois este acumulado aqui que foi um adicional do primeiro mês e acumulando até o quinto mês. E isto vai dar 19 mil reais. Esta aqui não é a alternativa correta. Portanto, só pode ser esta. E diz o seguinte: no final do quinto mês, Júlia havia faturado um total de 19 mil reais. Sim, isto está correto. Ou seja, no primeiro mês ela faturou 3 mil reais e depois tomou com o acumulado do primeiro mês e o quinto mês. E isto vai ser igual a 19 mil reais. Vamos fazer mais um exemplo aqui. E temos o seguinte aqui. A função k(t) nos dá a quantidade de ketchup em quilogramas produzido em uma fábrica de molho no instante "t" em horas de determinado dia. O que a integral de zero a 4 de k'(t) dt representa? Escolha uma alternativa. De novo, eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Vamos lá! k(t) é a quantidade de ketchup produzido em uma fábrica. Então, k'(t) que é a derivada, é uma variação de ketchup em cada instante. Portanto, esta integral está dizendo que você está pegando a área sob esta curva aqui. E nos mostra a variação líquida na quantidade original de ketchup. E esta mudança líquida está entre zero hora e 4 horas. Com isso entendido, vamos analisar as alternativas. Na primeira alternativa, nós estamos dizendo que a integral está representando a taxa de variação média da produção de ketchup nas primeiras 4 horas. Isso não é verdade. Esta integral não tem a ver com taxa média de mudança de variação. Então, esta aqui não está correta. E a segunda diz o seguinte: o tempo que leva para produzir 4 kg de ketchup. Obviamente, que não, não é? Este 4 é um dos momentos calculados, mas nós estamos calculando o acumulativo neste intervalo. Ou seja, nós estamos calculando a quantidade de ketchup produzido entre zero hora e 4 horas. Esta alternativa não está correta. E esta outra diz o seguinte: a taxa instantânea de produção em "t = 4". Também está incorreta. Isto aqui é algo que nós calcularíamos com a derivada em "t = 4". Portanto, esta última é a correta. Ou seja, a quantidade de ketchup produzida durante as primeiras 4 horas. Sim, isto está correto. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!