Aceleração média ao longo de um intervalo

RKA4JL - Vamos supor que você possua a posição pelo tempo de uma determinada partícula e seja t³ mais 2 sobre t² e a pergunta é: qual a aceleração média entre o intervalo fechado de 1 até 2? Pause o vídeo e verifique se você consegue fazer sozinho. Qual é a relação que a aceleração tem com a posição? Ora, nós sabemos que a derivada da posição pelo tempo vai nos dar a velocidade e a derivada da velocidade pelo tempo nos dá a aceleração. Portanto a derivada segunda da posição pelo tempo nos dá a aceleração e a aceleração instantânea. Portanto, vamos primeiro derivar a posição pelo tempo. Vamos reescrever essa equação de uma maneira mais simples. t³ sobre t² vai ficar t mais 2 vezes t⁻². Vamos agora fazer a derivada de ds(t) sobre dt e isso vai nos dar a minha velocidade instantânea, a velocidade v(t). Derivando, nós temos 1, pegamos esse numerador e passamos para cá multiplicando, o que vai dar -4 vezes t⁻³. Agora vamos derivar a velocidade em relação ao tempo pois assim obteremos a nossa aceleração instantânea. Derivando, aqui é uma constante, ela vai desaparecer, temos -3 multiplicado por -4, vai dar mais 12, vezes t⁻⁴. Então qual vai ser a aceleração média? A aceleração média vai ser a integral da aceleração de 1 até 2 dividida pelo intervalo, que é 2 menos 1, de 12t⁻⁴ dt. Quando nós integramos, nós pegamos a derivada. Nós vamos voltar a ter o -4t⁻³ e somaria uma constante, mas como aqui é uma integral definida, essa constante vai ser somada e subtraída, então ela não vai interferir no resultado. Aqui 2 menos 1 é 1, então isso dá 1, somando 1 no expoente nós temos -3 e 12 dividido por -3 vamos ter -4 t⁻³ no intervalo de 1 a 2. Então vamos ter -4 vezes 2⁻³ menos -4 vezes 1⁻³, que vai dar 1 mesmo, então vai ficar -4 aqui. Isso nós temos -4 vezes 2⁻³ é ⅛ mais 4. Aqui vai dar ½, ou melhor, -½, e vamos ter 4 menos ½, que vai dar 3,5, ou se você quiser colocar em forma de fração seria 7/2. Então você achou a aceleração média no intervalo entre 1 e 2 e se a posição estiver medida em metros e o tempo em segundos, a posição vai ser medida em metros, a velocidade em metros por segundo e aceleração vai ser em metros por segundo ao quadrado.