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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 3
Lição 2: Movimento em linha reta- Problemas de movimento com integrais: deslocamento x distância
- Análise de problemas de movimento: posição
- Análise de problemas de movimento: distância total percorrida
- Problemas de movimento (com integrais definidas)
- Análise de problemas de movimento (cálculo integral)
- Exemplo resolvido: problemas de movimento (com integrais definidas)
- Problemas de movimento (com integrais)
- Aceleração média ao longo de um intervalo
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Aceleração média ao longo de um intervalo
Como exemplo de cálculo de um valor médio, calculamos uma aceleração média.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Vamos supor que você possua a posição pelo tempo de uma determinada partícula e seja t³ mais 2 sobre t² e a pergunta é: qual a aceleração média entre o intervalo fechado de 1 até 2? Pause o vídeo e verifique se você consegue fazer sozinho. Qual é a relação que a aceleração tem com a posição? Ora, nós sabemos que a derivada da posição pelo tempo
vai nos dar a velocidade e a derivada da velocidade pelo tempo nos dá a aceleração. Portanto a derivada segunda da posição pelo tempo
nos dá a aceleração e a aceleração instantânea. Portanto, vamos primeiro derivar a posição pelo tempo. Vamos reescrever essa equação
de uma maneira mais simples. t³ sobre t² vai ficar t mais 2 vezes t⁻². Vamos agora fazer a derivada de ds(t) sobre dt e isso vai nos dar a minha velocidade instantânea,
a velocidade v(t). Derivando, nós temos 1, pegamos esse numerador e passamos para cá multiplicando, o que vai dar -4 vezes t⁻³. Agora vamos derivar a velocidade em relação ao tempo
pois assim obteremos a nossa aceleração instantânea. Derivando, aqui é uma constante, ela vai desaparecer, temos -3 multiplicado por -4, vai dar mais 12,
vezes t⁻⁴. Então qual vai ser a aceleração média? A aceleração média vai ser
a integral da aceleração de 1 até 2 dividida pelo intervalo, que é 2 menos 1,
de 12t⁻⁴ dt. Quando nós integramos, nós pegamos a derivada.
Nós vamos voltar a ter o -4t⁻³ e somaria uma constante, mas como aqui é uma integral definida, essa constante vai ser somada e subtraída, então ela não vai interferir no resultado. Aqui 2 menos 1 é 1, então isso dá 1, somando 1 no expoente nós temos -3
e 12 dividido por -3 vamos ter -4 t⁻³ no intervalo de 1 a 2. Então vamos ter -4 vezes 2⁻³ menos -4 vezes 1⁻³,
que vai dar 1 mesmo, então vai ficar -4 aqui. Isso nós temos -4 vezes 2⁻³ é ⅛
mais 4. Aqui vai dar ½, ou melhor, -½, e vamos ter 4 menos ½, que vai dar 3,5, ou se você quiser colocar
em forma de fração seria 7/2. Então você achou a aceleração média
no intervalo entre 1 e 2 e se a posição estiver medida em metros
e o tempo em segundos, a posição vai ser medida em metros,
a velocidade em metros por segundo e aceleração vai ser em metros por segundo ao quadrado.