Problemas de movimento com integrais: deslocamento x distância

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício e vamos ver qual é a diferença entre deslocamento e distância. E, para isso, vamos pensar em um objeto viajando em uma dimensão. Com isso em mente, vamos pensar na ideia de deslocamento. Geralmente, você utiliza esta palavra no seu cotidiano. Mas você sabe o que significa? Significa, literalmente, mudança na posição. E uma coisa que geralmente nós confundimos com deslocamento é a distância percorrida. Mas, espera aí, você está dizendo que deslocamento é diferente de distância percorrida? Sim, é diferente. A distância percorrida é o comprimento total do caminho. E para entender isso, vamos relembrar algumas coisas importantes do cálculo. Digamos que nós temos aqui uma função de velocidade de uma partícula. Então, vamos dizer que a nossa função velocidade em função do tempo é igual a 5 - t. E esta é uma função unidimensional. Por exemplo, digamos que ela esteja na direção horizontal. E quando isso acontece, algumas pessoas esquecem que esta função velocidade é uma função vetorial. Isso porque se essa velocidade for positiva, você está se movendo para a direita, mas, se a velocidade for negativa, você está se movendo para a esquerda. Portanto, tem uma direção. E, por causa disso, nós colocamos uma flecha aqui em cima deste "v" indicando que esta função velocidade é uma função vetorial. Agora, vamos representar graficamente esta função velocidade. E aqui nós temos o gráfico da nossa função velocidade, quando "t = 0" a nossa velocidade é de 5 m/s. Claro, eu não coloquei aqui, mas temos metros por segundo aqui e aqui o tempo em segundos. Então, exatamente em "t = 0", o objeto está viajando a 5 m/s. E como esta velocidade é positiva, o objeto está se movimentando para a direita. Mas observe que ele começa a decrescer a uma taxa de variação constante. E em t = 5, a partícula não tem velocidade. E a partir daqui, o objeto vai se movendo com uma velocidade negativa, o que está indicando que ele está se movimentando para a esquerda. Ok, sabendo disso, vamos pensar em algumas coisas. Vamos pensar em qual é o deslocamento nos primeiros 5 segundos. Nós já vimos diversas vezes que se você quiser encontrar a mudança na quantidade, você pode obter a integral da função de taxa desta quantidade. A velocidade é a taxa de deslocamento. Portanto, para saber o deslocamento nos primeiros 5 segundos, nós podemos pegar a integral de zero até 5 da função velocidade v(t) dt Isso vai ser a mesma coisa que calcular a área deste triângulo. E, claro, nós podemos pensar nisso aqui geometricamente. Como calculamos a área de um triângulo? Simples, nós pegamos a base, multiplicamos pela altura e dividimos por 2. E a base deste triângulo é 5. E 5 vezes 5 dá 25, dividido por 2 é igual a 12,5. E, claro, aqui tem metros por segundo, vezes segundo. E que quando multiplicarmos, vamos ficar somente com metros. Então, esta aqui é a mudança de posição da nossa partícula nos primeiros 5 segundos. Isso significa que eu comecei aqui e vou caminhar 12,5 metros para a direita. Agora, qual é o deslocamento nos primeiros 10 segundos? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Nós devemos pensar da mesma maneira, só que agora pegamos a integral de zero até 10 da função velocidade v(t) dt. Isso seria a mesma coisa que pegar esta área e somar com esta área aqui. E sabe qual é o interessante? No mundo das integrais definidas, quando você está pegando uma curva abaixo do eixo "x", esta área vai ser negativa. O que significa que se somarmos esta área com esta, o resultado vai ser igual a zero. Então, esta integral é igual a zero metro. E você pode até ficar com dúvida, não é? Como isto pode acontecer? Como este deslocamento pode ser zero? Você está dizendo que a partícula não se movimentou? Simples, nos primeiros 5 segundos a partícula está se movimentando para direita 12,5 metros, e de 5 segundos até 10 segundos a partícula está se movimentando os mesmos 12,5 metros. Mas, desta vez, para a esquerda, retornando à posição inicial. Portanto, a sua mudança de posição, o seu deslocamento, vai ser zero metro. É aqui que você começa a notar a diferença entre deslocamento e distância percorrida. A distância percorrida é o comprimento total do caminho. O que significa que você não se preocupa tanto com a direção. E para calcular esta distância percorrida, nós vamos olhar a sua velocidade escalar. Ou seja, o módulo desta função velocidade. É como se fosse a magnitude da função velocidade. Mas como ficaria o gráfico desta função? Ficaria deste jeito. Portanto, para descobrir a distância percorrida, nós devemos calcular a integral desta função. E é o que nós temos neste gráfico. Ou seja, a área deste gráfico no intervalo de zero a 10. Primeiro, nós calcularíamos a distância percorrida nos primeiros 5 segundos, que é a mesma coisa que calcular a integral de zero até 5 do módulo da função velocidade v(t) dt. Isso é a mesma coisa que calcular esta área, que nós já sabemos que é 12,5 metros. E observe que, nos primeiros 5 segundos, a distância percorrida e o deslocamento são iguais. E isso acontece porque, neste caso, a função velocidade é positiva nos dois casos. Agora, se você pensar na distância percorrida nos primeiros 10 segundos, o que vai ser? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente responder isso sozinho. Isto vai ser a mesma coisa que a integral de zero até 10 do módulo da função velocidade v(t) dt. E que é a mesma coisa que pegar esta área e somar com esta área, que vai dar 12,5 metros mais 12,5 metros, que é igual a 25 metros. O deslocamento foi zero, mas a distância percorrida foi de 25 metros. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!