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Exemplo resolvido: área entre curvas

A área entre os gráficos das funções ƒ e 𝑔 pode ser encontrada calculando a integral definida de ƒ-𝑔 ( suponha que ƒ está acima de 𝑔).

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos resolver um exercício envolvendo área e integral definida. Ou seja, nós vamos utilizar o que aprendemos até aqui no cálculo para descobrir a área desta região em laranja. E, claro, eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isto sozinho. Ok, para descobrir esta área, o ideal é utilizar uma integral definida. E a primeira coisa que temos que fazer é descobrir estes limites de integração. Olhando para a figura parece que este aqui é o limite inferior e este aqui é o limite superior. Mas que ponto é este? É a intercessão deste gráfico com este aqui. E se você quiser ter certeza disso, você pode pegar este "x = -1", que está dando um "y = -2" e substituir nestas duas equações. Se isso for verdade, tem que dar a mesma resposta, que, neste caso, tem que ser -2. Vamos ver se isto é verdade? Se eu substituir o -1 aqui, nós vamos ter -1² que dá 1. 1 - 3 vai dar -2. E se eu substituir -1 aqui, nós vamos ter -1⁴, que vai dar 1 menos 4 vezes -1² que vai dar -4, mais 1, que também vai ser igual a -2. A mesma coisa vale para o limite superior que é 1. Isso porque 1² - 3 vai dar -2. E 1⁴ - 4 vezes 1² + 1, também vai ser igual a -2. Portanto, os limites de integração serão "x = -1" e "x = 1". Agora, vamos olhar para o nosso gráfico. Neste intervalo, esta parte aqui é maior do que essa parte. Ou seja, durante o intervalo, a função azul é maior do que a função vermelha. Então, nós subtraímos a parte inferior da parte superior. Ou seja, nós pegamos a função x⁴ - 4x² + 1 e subtraímos a função x² - 3 dx. E isto faz muito sentido. Porque se estamos querendo saber qual é a área, o ideal é pegar a parte maior e subtrair a parte menor. Agora, nós devemos ajeitar isto aqui e avaliar no intervalo escolhido. Então, nós temos a integral de -1 até 1 de x⁴ - 4x². E observe que aqui tem um sinal de negativo e, por isso, vamos fazer a distributiva. E quando fizermos isso, vamos ter outro x² aqui. Então, -4x² - x² vai ser igual a -5x². E ainda temos 1 que vai somar com 3, por causa deste "menos" aqui. E aí, vamos ficar com 1 + 3 que é igual a 4, dx. Claro, é importante lembrar que o "dx" está multiplicando toda esta expressão. E agora basta a integrar isto aqui. Ou seja, achar a antiderivada. E podemos fazer isso com a regra da potência reversa. Ou seja, pegamos este x⁴ e somamos 1 a este expoente, ficando com x⁵. E dividimos por 4 + 1 que vai dar 5. Ou seja, eu peguei este expoente, somei 1 e coloquei aqui no denominador. E subtraímos isso por 5x³/3, que é a antiderivada desta função. E ainda tem este 4 aqui, cujo a integral é 4x. Então, somamos com 4x e podemos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para analisar a expressão de -1 até 1. E como fazemos isso? Pegamos este 1 e substituímos aqui ficando com 1 elevado a 5/5 que vai dar 1/5, menos 5x³/3, que vai dar -5/3, mais 4 vezes 1, que vai dar 4. E subtraímos isso pelo valor da expressão, quando "x = -1", e que vai ser igual a -1 elevado a 5/5, que é -1/5. E se substituirmos -1 aqui, vamos ter 5 vezes -1³ que vai dar -5. E ainda tem este sinal negativo aqui. Com isso, vamos ficar com mais 5/3. E ainda temos que substituir o -1, ficando com -4. E se aplicarmos a distributiva com este sinal, aqui tem o sinal de negativo e aqui também um sinal de negativo. Portanto, isto aqui vai ficar positivo e isto também, aqui vai ficar negativo e aqui positivo. Ou seja, o negativo inverteu todos os sinais dentro do parêntese. Agora, sim, 1/5 daqui mais 1/5 daqui vai dar 2/5. Ou seja, isto aqui com isto. E -5/3 - 5/3 vai ser igual a -10/3. E 4 + 4 = 8. E eu posso simplificar isso ainda. Então, eu vou colocar aqui o 8, mais, e vou realizar esta subtração. E primeiro devemos descobrir o denominador comum. E fazendo o MMC entre 5 e 3, vai ser 15. Agora, devemos pegar este MMC e dividir por 5, que vai dar 3, e multiplicar por 2, que vai dar 6. E 15/3 dá 5. E multiplicando por 10, vai dar 50. Então, este numerador é igual a 50. E resolvendo esta subtração, nós vamos ter aqui 8. E aí, 6 - 50 vai dar -44, sobre 15 que é o denominador comum. E se nós resolvermos isto aqui, vai ser igual a 76/15 unidades de área. E você ainda pode transformar isso se quiser em uma fração mista, ficando com 5 inteiros e 1/15 unidades de área. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!