Exemplo resolvido: área entre curvas

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos resolver um exercício envolvendo área e integral definida ou seja nós vamos utilizar o que aprendemos até aqui no cálculo para descobrir a área dessa região em laranja e claro eu sugiro que você pode o vídeo e tente resolver isso sozinho Ok para descobrir essa área o ideal é utilizar uma integral definida e a primeira coisa que temos que fazer é descobrir esses limites de integração olhando para a figura parece que esse aqui é o limite inferior e esse aqui é o limite superior mais que ponto é esse é intercessão desse gráfico com esse aqui e se você quiser ter certeza disso você pode pegar esse x = -1 que está dando um Y = - 2 e substituir nessas duas equações isso for verdade tem que dá a mesma resposta que Nesse caso tem que ser o menos dois vamos ver se isso é verdade se eu substituir o menos um aqui nós vamos ter menos 1 ao quadrado que dá um menos três vai dar menos de 2 e se eu substituir menos um aqui nós vamos ter menos um a quarta que vai dar um menos quatro vezes menos 1 ao quadrado que vai dar -4 mais um que também vai ser igual a menos dois a mesma coisa vale para o limite superior que é um isso porque um ao quadrado menos 3 vai dar menos dois e um a quarta menos quatro vezes um ao quadrado mais um também vai ser igual a menos dois portanto os limites de integração vão ser x = -1 e x = 1 agora vamos olhar para o nosso gráfico nesse intervalo essa parte aqui é maior do que essa parte ou seja durante o é a função Azul Ela é maior do que a função vermelha então nós subtraímos a parte inferior da parte superior ou seja nós pegamos a função x a quarta - 4x ao quadrado mais um e subtraímos a função x ao quadrado menos 3 d x e isso faz muito sentido né porque esse estamos querendo saber qual é a área o ideal é pegar a parte maior e subtrair a parte menor agora nós devemos ajeitar isso aqui e avaliar no intervalo escolhido Então temos a integral e menos um até um de X a quarta - 4x ao quadrado e observe que aqui tem um sinal de negativo e por isso vamos fazer a distributiva e quando fizermos isso vamos ter outro x ao quadrado aqui então - 4x ao quadrado menos x ao quadrado e vai ser = - 5x ao quadrado e ainda temos um que vai somar com três por causa desse menos aqui e aí vamos ficar com umas 3 = 4 deixe Claro é importante lembrar que o DX está multiplicando toda essa expressão e agora basta a integrar isso aqui ou seja achar a anti derivada e podemos fazer isso com a regra da potência reversa ou seja pegamos esse x a quarta e somamos mais um a esse expoente ficando com x a quinta e dividíamos por quatro ou mais um que vai dar 5 ou seja eu peguei esse expoente somei com um e coloquei aqui no denominador e subtraímos isso com 5 x elevado ao cubo / 3 que é a anti derivada dessa função e ainda tem esse quatro aqui cujo a integral é 4x Então se e com 4x e podemos utilizar O Teorema Fundamental do Cálculo para analisar a expressão de menos um até um e como fazemos isso pegamos esse um e substituímos aqui ficando com um elevado a 5 sobre cinco que vai dar 15 - 5 x 1 ao cubo sobre três que vai dar menos cinco terços mais quatro vezes um que vai dar quatro e subtraímos isso pelo valor da expressão quando X = -1 e q vai ser igual a menos 1 elevado a 5 sobre cinco que é menos 15 e se substituirmos o menos um aqui vamos ter cinco vezes menos um Ao Cubo que vai dar menos cinco e ainda tem esse sinal negativo aqui com isso vamos ficar com mais cinco terços e ainda temos que substituir o menos um aqui ficando com 14 e se aplicarmos a distributiva com esse sinal aqui tem o sinal de negativo e aqui também um sinal de negativo portanto Isso aqui vai ficar positivo e isso também aqui vai ficar negativo e aqui positivo ou seja O negativo inverteu todos os sinais dentro do parêntese Agora sim um quinto daqui mais uns 15 daqui vai dar dois quintos ou seja isso aqui com isso e menos de cinco terços menos cinco terços vai ser igual a menos de 10 três e quatro mais quatro vai ser igual a 8 e eu posso simplificar isso ainda então eu vou colocar aqui o 8 mas e vou realizar essa subtração e primeiro devemos descobrir o denominador comum e fazendo o MMC entre 5 e três vai ser 15 e agora devemos pegar esse Mc e dividir 15 que vai dar 3 e multiplicar por dois que vai dar 6 e 15 / 3 das 5 e multiplicando por 10 vai dar 50 Então esse numerador = 50 e resolvendo essa subtração nós vamos ter aqui oito e aí 6 - 50 vai dar - 44 sobre 15 que é o denominador comum e se nós resolvermos isso aqui vai ser igual a 76 sobre 15 unidades diária E você ainda pode transformar isso se quiserem uma fração mista ficando com cinco inteiros e um quinze avos unidades de área e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal