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Área entre uma curva e o eixo x: área negativa

Com integrais, pode ser útil apresentar a ideia de "área negativa".  Veja por quê! Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar male robot donald style do usuário Rodrigo Martins
    Eu também gosto de interpretar as áreas negativas lembrando das somas de Riemann, pois a área resultante é a soma das áreas de infinitos retângulos: já que a área de um desses retângulos é f(x)*dx, no caso em que a região está abaixo do eixo x, f(x)<0, portanto o resultado do produto (e, consequentemente, da área) é menor que zero. É uma interpretação razoável né? :)
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Transcrição de vídeo

RKA10MP – O que vamos interpretar neste gráfico é a área sobre a curva e o que ela representa. Quando fazemos a integral, esta função é “y” igual a cos “x” e fazemos a integral… Vamos colocar primeiro a integral indefinida de cos “x” dx. E sabemos que a derivada de sen “x” / dx é igual a cos “x”. Portanto, a integral de cos “x” dx vai ser sen “x” mais uma constante “c”. E por que esta constante “c”? Esta constante é porque várias derivadas são cos “x”. Porque se você derivar sen “x” mais a derivada de uma constante, essa derivada dá zero. Portanto, a derivada de sen “x” mais qualquer constante, π sobre 2, 3π sobre 2 vai dar cos “x” sem a constante. Quando integramos, nós somamos a constante. Agora, se quisermos integrar de zero até π sobre 2, vamos fazer a integral de zero até π sobre 2 de cos “x” dx. E, obviamente, sen “x” mais uma constante variando no intervalo entre zero e π sobre 2, o que somamos na constante vamos subtrair a constante também porque esta derivada nesse intervalo vai ser sen π/2 menos, mais uma constante, menos sen de zero. Menos a mesma constante. Você soma a constante, subtrai a constante, ou seja, ela não vai interferir no resultado. Esta área será sen π sobre 2 é 1 e sen de zero é zero, portanto, esta área vale 1. Vamos colocar em outra cor. Esta área vale 1. Colocar uma cor diferente. Esta área vale 1. Agora, vamos analisar esta área entre o intervalo de π sobre 2 e… π sobre 2 mais π sobre 2 dá 2π sobre 2, mais π sobre 2, dá 3π sobre 2. Ou seja, vamos integrar de π sobre 2 até 3π sobre 2 o nosso cos “x” dx. Isso vai ser sen 3π sobre 2 menos sen π sobre 2. E qual é o sen 3π sobre 2? Temos nosso círculo trigonométrico, aqui temos π sobre 2, temos π, temos 3π sobre 2. Como o seno está no eixo “y”, aqui vai ser -1, então vai dar -1 e sen π sobre 2, que é este ponto, vai ser 1, portanto, -1 menos 1, que vai ser -2. Ou seja, esta área vale 2. Ela vale 2… Uma área não é negativa, ela vale 2. Mas o que significa dizer que ela vale, nesse caso, -2? Significa apenas que ela está abaixo do eixo “x”. Esta parte que está acima do eixo “x” vale +1. Esta parte que está abaixo do eixo “x”, de π sobre 2 até 3π sobre 2, vale -2. E qual seria a integral de zero até 3π sobre 2 de cos “x” dx? Ou seja, a integral deste ponto até este ponto. Isso seria sen 3π sobre 2 menos sen de zero. O sen 3π sobre 2 é -1, menos zero, isso dá -1. O que significa este -1? Temos 1 como área positiva, temos 2 como área negativa que está abaixo do eixo “x”, portanto, 1 menos 2 vai dar -1. Então podemos até prever qual seria a área total de zero até 2π. Esta área vale 1, esta área vale 2 abaixo do eixo “x” e esta área, por simetria, vai valer também 1 acima, ou seja, é de se prever que aqui vai dar zero. Senão vejamos, a integral de zero até 2π de cos “x” dx vai ser sen 2π menos sen de zero, e isso vai ser zero menos zero, que vai ser igual a zero. Portanto, vimos que a área abaixo do eixo “x” damos um valor negativo, enquanto que a área acima do eixo “x” damos um valor positivo. Portanto, quando integrarmos um valor positivo significa que a área acima é maior do que a área abaixo. Se integrarmos e obtivermos um valor negativo significa que a área abaixo do eixo “x” é maior do que a área acima do eixo “x”.