Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Área entre uma curva e o eixo x.

Com base no teorema fundamental do cálculo, podemos usar as primitivas para calcular integrais. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Vamos dizer que eu tenha uma função f(x) igual a x² e tenha um plano cartesiano. Então, x e y. Eu quero saber qual é a área entre essa curva e a parte de cima do eixo x, de x igual a 1 até x igual a 4. Nós já fizemos bastante exercícios onde achamos essa área aproximada utilizando retângulos, mas nessa aula eu quero saber essa área exata. Para fazer isso, nós utilizamos uma integral de 1 até 4 de f(x) dx. Por que utilizamos isso? Simples: nós calculamos a soma das áreas de infinitos retângulos que colocamos aqui, ou seja, retângulos com larguras bem pequenas, infinitesimais. Isso é parecido com a soma de Riemann que vimos. A diferença é que as larguras desses retângulos são tão pequenas, mas tão pequenas, que podemos chamar de dx. A altura desse retângulo é a função calculada para um x dentro desse intervalo, ou seja, o intervalo da base. Basicamente. essa é a área de um retângulo e nós estamos somando esses infinitos retângulos de 1 até 4. Quando estamos somando coisas bem pequenas, podemos utilizar a integral. Mas até agora nós não calculamos nada, só escrevermos essa notação, que é a área exata de 1 até 4 entre essa curva e a parte de cima do eixo x. Como podemos calcular essa área? Simples: podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo nessa integral. Mas o que isso significa? Isso se refere à antiderivada. Basicamente, nós podemos dizer que f é a derivada de uma função F(x), ou então podemos dizer que F(x) é a antiderivada de f(x). Então eu posso achar a área calculando isso aqui. E claro, aqui na Khan Academy tem um vídeo a respeito de integrais. Se você não viu, eu sugiro que dê uma revisada. Para calcular essa área, nós podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo, que é a mesma coisa que calcular a antiderivada avaliando em 4 menos a antiderivada avaliando em 1. Então vamos fazer isso para essa função, ou seja, calcular a integral de 1 até 4 de x² dx. Quanto isso vai dar? A primeira coisa que temos que fazer é descobrir a antiderivada de x², ou seja, se f(x) é igual a x², qual é a antiderivada? Se lembrarmos da regra da potência, nós vamos ter que a derivada de uma função em relação a x de x³ é igual 3x². Isso é quase x², não é? A diferença é que tem essa constante aqui. E para obter x², eu posso dividir ambos os membros dessa igualdade por 3. Com isso eu vou cancelar esse 3 e esse aqui também e ficar com a derivada em relação a x de (x³ sobre 3), que é igual a x². Ou seja, essa é a derivada e essa é a antiderivada, é a função que nós derivamos para encontrar essa resposta. Então, a antiderivada de x² é igual a (x³ sobre 3). Agora calculamos em 4 e subtraímos calculando em 1. Em alguns casos, nós utilizamos essa notação: colocamos aqui (x³ sobre 3) e avaliamos em 4 e em 1. Às vezes até utilizamos uma barra aqui, mas nessa aula eu vou utilizar essa notação. Então, avaliando de 1 até 4 nós vamos ter 4³, que dá 64, dividido por 3, ou seja, isso aqui é isso, e subtraímos isso avaliando em 1. Então 1³ vai dar 1, que dividido por 3 vai dar ⅓, lembrando que esse ⅓ é isso aqui. Se esse resolvermos isso, vamos repetir o denominador e subtrair os numeradores, ficando com 63/3. E claro, eu coloquei isso aqui porque eu não conheço a unidade da área que está sendo trabalhada. Se eu quiser dividir 63 por 3, isso vai ser igual a 21 unidades de área. Eu espero que essa aula tenha ajudado e até a próxima, pessoal!