Volume com cortes transversais: quadrados e retângulos (sem gráfico)

hoje nessa aula nós vamos calcular volumes com cortes transversais E para isso nós temos o seguinte aqui a base de um sólido é a região delimitada pelos gráficos y = - x ao quadrado + 6x - 1 e y = 4 seções transversais do sólido perpendiculares ao eixo X são retângulos cujo altura ex expresse o volume do sólido com uma integral definida então eu sugiro que você pode o vídeo e tente resolver isso sozinho vamos lá o interessante aqui nessa questão é que nós temos somente as funções mas não temos os gráficos e para entender isso melhor o ideal é ter uma visualização geométrica Isso vai nos ajudar a entender melhor qual é essa região delimitada e a primeira coisa a se fazer é pensar aonde essa e funções interceptam Ou seja quando isso aqui é igual a quatro então menos x ao quadrado + 6x - 1 = 4 vai nos dar valores de x no qual essas duas coisas são iguais e aí resolvendo para x nós podemos subtrair ambos os lados dessa equação pelo menos quatro ficando com menos x ao quadrado + 6x - 5 = 0 agora nós podemos multiplicar ambos os membros dessa equação por menos um ficando com x ao quadrado menos 6x + 5 = 0 e se fatorarmos essa expressão vamos ficar com x menos 1 que multiplica XD menos cinco isso é igual a zero e veja bem quando duas coisas estão se multiplicando e o e do zero uma delas tem que ser zero então o x - 1 = 0 que vai nos dar que X tem que ser igual a 1 ou x - 5 tem que ser igual a zero o que vai nos dar que fiz = 5 com isso essas duas coisas vamos interceptar em x igual a 1 e x = 5 e note que tem um sinal negativo aqui antes do x ao quadrado o que nos diz que essa parábola tem concavidade para baixo portanto a reta a y = 4 vai tocar a parábola em dois pontos em x igual a 1 e x = 5 e o vértice dessa parábola vai estar aqui no meio dessas duas raízes Ou seja no meio de x igual a 1 e x = 5 O que significa que vai estar tocando aqui em x = 3 Ok deixa eu desenhar isso aqui de fora o nacional para ficar mais claro de ver essa região esse aqui vai ser o nosso eixo Y esse aqui o eixo X e deixa eu colocar aqui alguns valores para o y 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 Y = 4 está aqui Y = 4 e sabemos que essa parábola aqui intercepta Y = 4 em x igual a 1 e x = 5 Então deixa eu colocar aqui um dois três quatro e cinco então em x igual o ponto vai estar aqui e quando o x = 5y vai ser igual a quatro e sabemos que o x do vértice é três então quando X Vale 3 Wii já está mais ou menos aqui e claro você pode saber exatamente qual é esse ponto basta substituir o x = 3 nessa função e aí vamos ter que y = - x ao quadrado ou seja menos 3 ao quadrado que vai dar - 9 + 6 x 3 e vai ser igual a 18 - 1 que vai ser igual a 8 ou seja quando X = 3 e y = 8 E aí vamos ficar com algo mais ou menos assim e essa aqui é a região que estamos falando ou seja a região delimitada por essa função e essa aqui essa região vai ser a base do nosso sólido e o exercício diz que as seções transversais do sólido perpendiculares ao eixo X são retângulos cuja altura é x ou seja essa aqui é uma seção transversal é perpendicular ao eixo X Então essa seção é um retângulo que tem uma altura x e qual é a largura desse retângulo vai ser a diferença entre essas duas funções ou seja vai ser a função superior menos a função inferior Ou seja a base desse retângulo vai ser menos x ao quadrado + 6x - 1 - 4 e que pode ser simplificada como menos x ao quadrado + 6x - 5 então completando aqui a sessão se nós quisermos descobrir o volume nós precisamos colocar uma certa profundidade ou seja nós pegamos isso aqui e multiplicamos por uma pequena diferença na profundidade que podemos chamar de DX e como aqui temos várias sessões para descobrir o volume do sólido e vamos integrar em relação a x de 1 até 5 então o volume dessa pequena fatia desse pequeno paralelepípedo vai ser essa base que é menos x ao quadrado + 6x - 5 - x ao quadrado + 6x - cinco vezes altura que é x a profundidade e é deixe e Claro esse é um paralelepípedo pode ter outro por exemplo aqui um pouco maior Quem sabe mais ou menos desse jeito e por causa disso nós devemos integrar essa multiplicação e claro isso vai de x igual a um até x = 5 Então hoje limites de integração vão ser um e 5 pronto conseguimos expressar o volume do sólido como uma integral definida e claro você ainda pode aplicar a distributiva aqui ficando com algo mais simplificado e que é bem fácil de se aplicar a integral porque se trata de um polinômio né e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal