Volume com seções transversais: introdução

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos ter uma introdução à como calcular volumes utilizando cortes transversais e se você chegou até aqui Provavelmente você já está familiarizado com a ideia de encontrar a área entre Curvas e se não está Eu sugiro que você deu uma revisada nos conteúdos daqui Academy por exemplo nós podemos encontrar essa área aqui utilizando uma integral definida mas o que vamos fazer nessa aula é algo ainda mais interessante ou seja vamos encontrar volumes de formas onde a base de alguma forma é definida pela área entre duas curvas Então deixa eu desenhar isso aqui em três dimensões esse aqui vai ser o eixo Y esse aqui é o meu eixo X essa aqui é a reta Y = 6 e colocando aqui umas linhas pontilhadas o x = 2 vai estar o que então o gráfico de y = 4 l m de 3 - x vai ser algo mais ou menos assim e essa região vai ser essa aqui que vai ser a base de uma forma tridimensional onde podemos utilizar cortes transversais Como assim se eu fizer um corte transversal aqui isso vai ser igual a um quadrado Então essa seção transversal esse corte aqui vai ser um quadrado e essa seção transversal aqui também vai ser um quadrado não importa a diferença entre as duas curvas essa seção transversal também vai ser um quadrado e claro corte transversal com esse comprimento aqui também vai ser um quadrado a figura é parecida com isso né ela tem três dimensões e É nesse momento que você vai ver como uma integral definida te ajuda basicamente o que temos que fazer é dividir essa figura em diversos bom E com isso agora eles vão ter alguma profundidade a mesma coisa acontece aqui nesse quadradinho pequeno vamos transformá-lo em um cubo porque agora ele tem uma profundidade você poderia fazer isso com todas as seções transversais Ou seja você vai colocar profundidade em todos os quadrados da seção transversal é uma profundidade tão pequena que nós podemos chamar de deixes e como podemos descobrir qual é o seu volume ou seja qual é o volume desse cubo seria a profundidade vezes a área dessa superfície aqui ou seja a área dessa seção transversal deixa eu até colocar isso em outra cor qual seria o valor dessa área a área de um quadrado é o seu comprimento ao quadrado e qual seria o comprimento dessa base vai ser a diferença entre essas duas funções ou seja vai ser 6 - Às vezes o logaritmo natural de 3 - x Esse vai ser o comprimento desse quadrado mas como queremos saber a área Nós levamos toda essa expressão ao quadrado e para descobrir o volume nós devemos multiplicar isso pela profundidade Ou seja você multiplica por DX E com isso você vai ter o volume desse cubo pequeno aqui e eu acredito que você já sabe aonde isso vai dar né O que aconteceria se eu tomasse todos os cubos dessa figura de x = 0 até x = 2 você teria o volume de tudo isso aqui e aí que é integral entra ou seja podemos integrar toda essa expressão de 0 até 2 e se você quiser saber aonde isso está no nosso gráfico você vai ver que esse cubo Está mais ou menos aqui sendo que aqui está o DX e eu invés de múltipl o deixes pela diferença entre essas duas funções vamos ajustar o quadrado da diferença entre elas isso porque aqui estamos visualizando tridimensionalmente ou seja estamos analisando essa superfície de forma tridimensional e aqui é a altura de um retângulo com isso se você resolver essa integral você vai ter o volume disso aqui ou seja você vai ter o volume dessa figura aqui claro essa integral não é tão fácil de fazer mas nós podemos utilizar uma calculadora Então deixa eu colocar ela aqui e podemos descobrir o valor da integral então eu clico aqui em mate na opção 9 quer integral definida e eu estou utilizando aqui uma calculadora ti-84 Plus então calculando a integral definida Nós temos que colocar os valores aqui então de 0 até 2 e aqui colocamos a expressão deixa eu abrir um a fazer aqui então seis menos quatro vezes o logaritmo natural de 3 - x e o fecho o parêntese aqui para levar toda essa expressão ao quadrado então ao quadrado e integrando em relação a x se eu apertar enter Isso vai ser aproximadamente 26,27 então aproximadamente 26,27 Então esse volume é de aproximadamente 26,27 unidade de volume e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal