Volume com seções transversais perpendiculares ao eixo y

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos calcular volume com seções transversais perpendiculares ao eixo Y e para isso nós temos a seguinte aqui seja r a região delimitada por y = 4x a raiz quadrada de nove menos x e os eixos no primeiro quadrante ou seja essa região aqui e a região R é a base de um sólido para cada valor de y a seção transversal do sólido obtido perpendicular ao eixo Y é um retângulo cuja base encontra-se em r e cuja altura é y expresse o volume do sólido com uma integral definida então eu sugiro que você pode o vídeo e tente resolver isso sozinho vamos resolver juntos então a primeira coisa que eu vou fazer é olhar para essa região eu vou tentar fazer um desenho 3 o canal dela aqui eu tenho o meu y e aqui o meu eixo X e a região R é mais ou menos essa aqui Note que o exercício diz que a seção transversal do sólido obtido perpendicular ao eixo Y é um retângulo Ou seja que vai ser perpendicular ao nosso eixo Y e claro isso aqui é x Na verdade seria um X que corresponde a esse valor específico e altura desse retângulo é y então aqui o y e aí vamos ter um retângulo mas se quisermos calcular o volume nós vamos ter que dar um pouco de dimensão a esse retângulo transformando ele em um paralelepípedo mais claro essa profundidade é bem pequena é algo infinitesimal em termos de y é tão pequena que podemos chamar de de y e claro aqui é a altura do o ângulo e você pode fazer outra e seções transversais por exemplo eu posso fazer uma aqui com uma altura menor de y e aqui nós vamos ter a base x que é mais ou menos essa parte aqui da curva E aí nosso retângulo vai ser mais ou menos assim mas de novo se queremos calcular volume temos que dar uma profundidade é esse retângulo transformando ele em um paralelepípedo e você pode fazer isso até calcular todo o volume do sólido e como podemos calcular o volume dessas sessões uma forma de fazer isso é utilizando a integral que vai ser a soma de todas as seções transversais e claro você pode integrar em relação a x ou integrar em relação à Y mas nesse caso específico é mais fácil integrar em relação à Y porque nós temos um de y aqui então o volume um pequeno paralelepípedo vai ser y x de y e c queremos integrar em relação à Y temos que colocar todos os termos em função de y e você pode fazer isso reescrevendo essa função ou seja temos que colocar o x como uma função de y primeira coisa é dividir ambos os membros dessa equação por quatro ficando com y sobre 4 = raiz quadrada de 9 - x elevando ambos os membros da equação ao quadrado vamos ficar com o y ao quadrado sobre 16 = 9 - x ainda podemos multiplicar ambos os membros da equação por menos um ficando com menos y ao quadrado sobre 16 = x - 9 por fim é só uma arma de 9 a ambos os meus a ação vamos ficar com nove menos y ao quadrado sobre 16 = x e podemos substituir isso aqui no lugar desse x E aí outra forma de expressar esse volume vai ser Y que multiplica 9 menos y ao quadrado sobre 16 x de y claro isso é o volume dessa seção transversal Mas e se quisermos encontrar o volume de toda a figura ou seja o sólido que vai ser mais ou menos assim simples basta integrar isso aqui de 0 até 12 Então o intervalo de integração é de 0 a 12 ou seja esse aqui é o volume do sólido que foi o que o exercício queria E você ainda pode aplicar a distributiva aqui ou resolver essa integral com uma calculadora enfim só vamos até onde o exercício é mesmo mulher eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal