Volume com cortes transversais: triângulo

[RKA20C] Temos uma figura definida por duas funções: f(x) e g(x). Ela se encontra no ponto (0, 0) e, quando x = c, tanto f(c) = d como g(c) = d também, ou seja, ela se encontra neste outro ponto. Esta linha azul é uma linha que parte do ponto (0, 0) e vai até o ponto (c, d). Temos uma distância ao longo do eixo y que nos dá a altura, que é a distância entre f(x) e g(x). Então, podemos escrever que h(x) vai ser igual a f(x) - g(x). Então, temos a nossa função h(x) em função das duas funções que definem essa figura. Agora, vamos ver para calcular o volume. Temos esta distância h, que é a distância entre as duas funções, e, ao ligar com a linha azul que une o ponto (c, d) ao ponto (0, 0), vamos ter um triângulo retângulo isósceles de lado a. Este lado a vale a² + a² = h². Então, 2a² = h²... Vamos ter que a² = h²/2: a = h/√2 ou √2/2 × h. Então, este é nosso lado a. Qual seria a área desse triângulo, a área da seção transversal? Essa área da seção transversal seria um lado vezes o outro sobre 2. Já que temos um triângulo isósceles de lados iguais, ele é metade do quadrado. Portanto, temos a × a / 2, e a área seria √2/2 × h vezes √2/2 h × 1/2. Isso dá área da seção transversal de √2 × √2, que dá 2. 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8, então, 2/8. Ou seja, vamos ter h²/4. Agora, queremos saber o volume. Então, vamos esticar um pouco, na direção do eixo x, um pequeno dx, ou seja, ao pegarmos e aumentarmos uma pequena porção dx, vamos ter o pequeno volume da área transversal. Portanto, o volume da área transversal vai ser igual à área do triângulo transversal: h²/4 × dx. Ora, se queremos saber, agora, o volume da nossa figura, vamos integrar de 0 até c de h(x)²/4, então, é 1/4 de h(x)² dx. Ora, mas quem é h(x)²? É f(x) - g(x). Então, temos a integral de 0 a c, de 1/4 (f(x) - g(x))² dx. E terminamos!