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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 3
Lição 11: Volume: método da anilha (revolucionando em torno dos eixos x e y)Sólido de revolução entre duas funções (conduzindo ao método da arruela)
Como encontrar o volume de um sólido de revolução que é definido entre duas funções. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - Vamos supor que você tenha
duas funções. Aqui é o eixo "x" e aqui é o eixo "y". Você tenha uma que seja a raiz de "x" e a outra que seja igual a "x". Ou seja, y = x. E você queira rotacionar esta curva em torno do eixo "x". E você queira saber qual o volume
que vai ser criado por esta área entre estas duas curvas. Então, você tem esta curva para baixo, que é a raiz de "x", você tem a curva que é igual a "x" (na realidade, aqui seria menos
a raiz de "x" e aqui seria -x) e você quer rotacionar esta curva e saber qual é integral dela. A maneira de você fazer é pegar, primeiro, qual é o volume rotacional desta curva inteira. Esta curva "cerca" essa casca de noz. Então, você tem a integral
de quanto até quanto? Neste ponto, as duas são iguais.
É no ponto (0, 0). E este ponto é quando raiz de "x"
for igual a "x", ou seja, x² = x, ou x² - x = 0, ou x(x - 1) = 0. Então eu tenho duas soluções: x = 0 ou x =1. Portanto, a integral vai ser de zero até 1.
De quem? Da curva exterior. Esta curva exterior, que vai rotacionar. Uma vez que ela vai rotacionar,
ela vai criar um aro. E esse aro vai ser π vezes a raiz de "x",
ao quadrado, vezes dx. Menos a curva que está dentro, que vai ser a integral de zero até 1 de π vezes "x", ao quadrado, vezes dx. Isto de zero a 1. Vamos desenvolver. Desenvolvendo, nós vamos ter que a integral... Aqui vamos colocar todos os π
para o lado de fora. Temos π e, aqui, nós temos: raiz de x² é o próprio "x", a integral vai ser x²/2, variando de zero até 1. Menos... Aqui nós temos o π e vamos ter a integral, que vai ficar: x³/3, de zero até 1. Então, isto fica: π, vezes... quando for 1, nós temos 1²/2 = 1/2, menos 0²/2, vai ser o próprio 1/2. Menos π vezes... Quando foi 1, vai ser 1³ (que é 1)
sobre 3, dá 1/3 e 0³/3 = 0. Vai ficar o próprio 1/3. Então, ficamos com π em evidência e a subtração destas duas frações, que podemos colocar o mínimo sendo 6. 6 dividido por 2 dá 3, 6 dividido por 3 dá 2. O volume desta casca que está rotacionando vai ser igual a π/6.