Generalização do método da anilha

RKA14C Neste vídeo, nós vamos generalizar o que fizemos no último vídeo. Para fazer isso, vamos desenhar aqui os nossos eixos. Este aqui é o meu eixo y. E este aqui é o meu eixo x. Vamos ter duas funções aqui. Vamos dizer que nós temos uma função bem aqui, e que se parece com algo mais ou menos assim. Esta aqui é uma função f(x). Aqui nós temos uma outra função que vai ser g(x). Vamos dizer que essa função g(x) tenha esta aparência. A verde é y = f(x). A azul é y = g(x). O que fizemos no último vídeo foi pensar a respeito do volume do sólido de revolução que obteremos se girarmos essas duas funções ao redor do eixo x. Ou seja, em torno do eixo x. Tecnicamente, poderíamos fazer qualquer coisa e utilizar qualquer função para fazer isso. Mas, de acordo com o que nós fizemos aqui, vamos obter algo que teria uma forma de um cogumelo. Algo bem parecido com um cogumelo. Por fora, teríamos algo parecido com um cogumelo, e, por dentro, teríamos algo semelhante a um cone. Claro, isso é a maneira com a qual eu desenhei essas duas funções, mas o que queremos fazer aqui é generalizar a matemática disso, para então determinarmos o volume desses sólido de revolução. Como a gente pode fazer isso? Bem, nós podemos pensar em discos, mas como isso se trata de duas funções, em vez de pensarmos em discos, vamos pensar em arruelas agora, o que é essencialmente a mesma coisa que a gente fez no último vídeo, mas tem um conceito levemente diferente. Então, vamos imaginar que temos esse pedacinho entre essas duas funções, algo bem assim. A minha pergunta é: qual vai ser a largura desse pedaço? Bem, isto aqui vai ser igual a dx, e nós vamos girar tudo isso ao redor de x. Se girarmos isto aqui ao redor de x, nós teremos uma arruela, e é por isso que chamamos isso de método da arruela, também chamado às vezes de método da varredura. É chamado de método da arruela porque temos um disco com uma abertura em seu interior, onde esta parte aqui é o interior da arruela, e esta outra o exterior da arruela. O exterior da arruela se parece com isto aqui, espero que isso faça sentido para você. A superfície dessa arruela vai se parecer com algo mais ou menos assim. Eu poderia desenhar um pouco melhor, mas espero que isso sirva para o nosso propósito, que é entender todas essas ideias. A superfície da arruela, que se parece com isto aqui, tem uma profundidade, ou seja, uma espessura dx. Então, esta aqui é a nossa espessura dx. Bem, uma arruela é como se fosse uma moeda furada, certo? Então, essa moeda furada tem uma espessura. Como a gente pode achar o volume dessa arruela? Se nós conhecemos as superfícies, se sabemos a área da face dessa arruela, nós podemos multiplicar essa área pela profundidade, ou seja, pela espessura. Bem, já sabemos que a espessura é dx, mas qual é a área dessa arruela? Bem, vamos ver aqui. Inicialmente, podemos imaginar a área dessa superfície caso ela não fosse furada. Bem, para determinarmos a área dessa superfície, teríamos π vezes todo o raio externo elevado ao quadrado. Então, teríamos π vezes o raio externo ao quadrado. E qual é o raio externo, o raio do exterior dessa arruela? Bem, o raio dessa arruela seria f(x). Então, vamos pegar esse f(x) e elevar ao quadrado. Esta expressão aqui nos daria a área total da face caso essa arruela fosse uma moeda, ou seja, caso ela não tivesse um furo em seu interior. No entanto, como sabemos que ela tem um furo, precisamos subtrair a área desse furo interior. E qual seria essa área interior? Seria esta parte bem aqui. Então, nós vamos subtraí-la da área total. Então, teríamos aqui π vezes o raio interior elevado ao quadrado. E qual seria o raio interior? Bem, o raio interior, neste caso, seria g(x). Então, teríamos π vezes (g(x))². Essa é a função interior, pelo menos no intervalo que estamos observando. Esta aqui seria a área total dessa arruela: π vezes (f(x))² - π vezes (g(x))². Podemos fatorar isso? Sim, podemos. Podemos colocar esse π em evidência. Então, colocando esse π em evidência, vamos ter π vezes (f(x)² - g(x)²). Bem, esta aqui é a área da arruela, mas queremos o volume. Como podemos determinar o volume dessa coisa? Basta pegar essa área e multiplicar pela profundidade de cada arruela. Então, o volume de cada uma dessas arruelas seria igual a π vezes (f(x)² - g(x)²), e isso vezes a profundidade, onde a profundidade é dx. Este aqui seria o volume de cada uma das arruelas, e isso será definido em um intervalo em um dado x, onde para cada x nesse intervalo, nós estamos definindo uma arruela. Poderia existir uma arruela aqui e outra aqui, e então obteríamos a soma de todas essas arruelas. Se tomarmos o limite onde as profundidades de cada uma dessas arruelas são cada vez menores, vamos ter um número infinito de arruelas infinitamente finas. Fazendo isso, nós podemos calcular a integral dentro desse intervalo em que essas duas funções fazem uma interseção, e é o intervalo que nos importa. Não precisa ser necessariamente onde elas realizam a interseção, mas é o que nós vamos fazer aqui. Então, vamos dizer que a gente vai calcular a integral indo de x = a até x = b. Claro que "a" e "b" poderiam ser em qualquer lugar, mas é o intervalo que estamos colocando aqui, em termo gerais. De "a" até "b". Isso vai nos dar o volume desse sólido de revolução. Lembrando que esta parte aqui é o volume de cada arruela. Então, se a gente somar todas as arruelas, e tomar o limite com Δx tendendo a zero, vamos ter um número infinito dessas arruelas. Se aplicarmos isso ao exemplo do último vídeo, nós vamos obter a mesma resposta. Lembra que no último vídeo falei que g(x) = x e f(x) = √x ? Vamos avaliar isso aqui novamente utilizando esse método. Então, o nosso volume aqui será a integral... Quais vão ser os nossos pontos de interseção? Os pontos em que as funções fazem uma interseção. Bem, mais uma vez, podemos definir o intervalo em qualquer outro lugar, tudo bem? Como daqui até aqui, ou de qualquer ponto a qualquer ponto, mas, de acordo com a nossa visualização aqui, e é o que nos importa neste problema, queremos tomar os limites entre x = 0 e x = 1, que são os dois pontos onde essas duas funções fazem a interseção. Já vimos isso no último vídeo, inclusive. Isso aqui de π vezes... Bem, temos aqui que f(x) é a √x. Tomando isto aqui ao quadrado, vamos ter x menos... g(x) = x. x² é x²... E multiplicamos isso por dx. Podemos fatorar isto aqui e colocar o π para fora da integral. Assim, vamos ter π vezes a antiderivada de (x - x²). A antiderivada de x é igual a x² sobre 2. E a antiderivada de x² é igual a x³ sobre 3. Vamos avaliar isso no intervalo de integração indo de 0 a 1. Bem, vamos ter aqui π vezes tudo isto aqui calculado em 1. Assim, vamos ter 1/2 - 1/3 menos tudo isso avaliado em zero. Bem, quando calcularmos isso em zero, vamos ter isto aqui como zero, então, vai sobrar apenas 1/2 - 1/3. Agora, quanto é 1/2 - 1/3? Bem, é 1/6. Então, a nossa resposta aqui vai ser π vezes 1/6, que é π/6. O que é a mesma coisa que encontramos no último vídeo. Isso é porque fizemos a mesma coisa no último vídeo, mas com um conceito um pouco diferente. Neste vídeo, nós generalizamos em termos de f(x) e g(x), que é o método que nós chamamos de método da arruela. O que é a mesma coisa que utilizar o método do disco para a parte externa e a parte interna, conforme fizemos no último vídeo.