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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 3
Lição 11: Volume: método da anilha (revolucionando em torno dos eixos x e y)Generalização do método da anilha
Retomando o exemplo do último vídeo de forma mais generalizada. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA14C Neste vídeo, nós vamos generalizar
o que fizemos no último vídeo. Para fazer isso, vamos desenhar aqui
os nossos eixos. Este aqui é o meu eixo y. E este aqui é o meu eixo x. Vamos ter duas funções aqui. Vamos dizer que nós temos
uma função bem aqui, e que se parece com algo
mais ou menos assim. Esta aqui é uma função f(x). Aqui nós temos uma outra função
que vai ser g(x). Vamos dizer que essa função g(x)
tenha esta aparência. A verde é y = f(x). A azul é y = g(x). O que fizemos no último vídeo
foi pensar a respeito do volume do sólido de revolução que obteremos se girarmos essas
duas funções ao redor do eixo x. Ou seja, em torno do eixo x. Tecnicamente, poderíamos
fazer qualquer coisa e utilizar qualquer função
para fazer isso. Mas, de acordo com o que
nós fizemos aqui, vamos obter algo que teria
uma forma de um cogumelo. Algo bem parecido com um cogumelo. Por fora, teríamos algo parecido
com um cogumelo, e, por dentro, teríamos algo
semelhante a um cone. Claro, isso é a maneira com a qual
eu desenhei essas duas funções, mas o que queremos fazer aqui é
generalizar a matemática disso, para então determinarmos o volume
desses sólido de revolução. Como a gente pode fazer isso? Bem, nós podemos pensar em discos, mas como isso se trata de duas funções, em vez de pensarmos em discos, vamos pensar em arruelas agora, o que é essencialmente a mesma coisa
que a gente fez no último vídeo, mas tem um conceito levemente diferente. Então, vamos imaginar que temos
esse pedacinho entre essas duas funções, algo bem assim. A minha pergunta é:
qual vai ser a largura desse pedaço? Bem, isto aqui vai ser igual a dx, e nós vamos girar tudo isso ao redor de x. Se girarmos isto aqui ao redor de x, nós teremos uma arruela, e é por isso que chamamos isso
de método da arruela, também chamado às vezes
de método da varredura. É chamado de método da arruela porque temos um disco com
uma abertura em seu interior, onde esta parte aqui
é o interior da arruela, e esta outra o exterior da arruela. O exterior da arruela
se parece com isto aqui, espero que isso
faça sentido para você. A superfície dessa arruela vai se parecer com algo mais ou menos assim. Eu poderia desenhar
um pouco melhor, mas espero que isso sirva
para o nosso propósito, que é entender todas essas ideias. A superfície da arruela,
que se parece com isto aqui, tem uma profundidade,
ou seja, uma espessura dx. Então, esta aqui é a nossa espessura dx. Bem, uma arruela é como se fosse
uma moeda furada, certo? Então, essa moeda furada
tem uma espessura. Como a gente pode achar
o volume dessa arruela? Se nós conhecemos as superfícies, se sabemos a área da face dessa arruela, nós podemos multiplicar essa área
pela profundidade, ou seja, pela espessura. Bem, já sabemos que a espessura é dx, mas qual é a área dessa arruela? Bem, vamos ver aqui. Inicialmente, podemos imaginar
a área dessa superfície caso ela não fosse furada. Bem, para determinarmos
a área dessa superfície, teríamos π vezes todo o raio externo
elevado ao quadrado. Então, teríamos π vezes
o raio externo ao quadrado. E qual é o raio externo,
o raio do exterior dessa arruela? Bem, o raio dessa arruela seria f(x). Então, vamos pegar esse f(x)
e elevar ao quadrado. Esta expressão aqui
nos daria a área total da face caso essa arruela fosse uma moeda, ou seja, caso ela não tivesse
um furo em seu interior. No entanto, como sabemos
que ela tem um furo, precisamos subtrair
a área desse furo interior. E qual seria essa área interior? Seria esta parte bem aqui. Então, nós vamos subtraí-la
da área total. Então, teríamos aqui π vezes
o raio interior elevado ao quadrado. E qual seria o raio interior? Bem, o raio interior,
neste caso, seria g(x). Então, teríamos π vezes (g(x))². Essa é a função interior, pelo menos no intervalo
que estamos observando. Esta aqui seria a área total dessa arruela: π vezes (f(x))² - π vezes (g(x))². Podemos fatorar isso?
Sim, podemos. Podemos colocar esse π em evidência. Então, colocando esse π em evidência, vamos ter π vezes (f(x)² - g(x)²). Bem, esta aqui é a área da arruela,
mas queremos o volume. Como podemos determinar
o volume dessa coisa? Basta pegar essa área e multiplicar
pela profundidade de cada arruela. Então, o volume de
cada uma dessas arruelas seria igual a π vezes (f(x)² - g(x)²), e isso vezes a profundidade,
onde a profundidade é dx. Este aqui seria o volume
de cada uma das arruelas, e isso será definido em
um intervalo em um dado x, onde para cada x nesse intervalo,
nós estamos definindo uma arruela. Poderia existir uma arruela aqui
e outra aqui, e então obteríamos
a soma de todas essas arruelas. Se tomarmos o limite
onde as profundidades de cada uma dessas arruelas
são cada vez menores, vamos ter um número infinito
de arruelas infinitamente finas. Fazendo isso, nós podemos calcular
a integral dentro desse intervalo em que essas duas funções
fazem uma interseção, e é o intervalo que nos importa. Não precisa ser necessariamente
onde elas realizam a interseção, mas é o que nós vamos fazer aqui. Então, vamos dizer que
a gente vai calcular a integral indo de x = a até x = b. Claro que "a" e "b" poderiam
ser em qualquer lugar, mas é o intervalo que estamos
colocando aqui, em termo gerais. De "a" até "b". Isso vai nos dar o volume
desse sólido de revolução. Lembrando que esta parte aqui
é o volume de cada arruela. Então, se a gente somar todas as arruelas, e tomar o limite com Δx tendendo a zero, vamos ter um número infinito
dessas arruelas. Se aplicarmos isso
ao exemplo do último vídeo, nós vamos obter a mesma resposta. Lembra que no último vídeo falei que g(x) = x e f(x) = √x ? Vamos avaliar isso aqui novamente
utilizando esse método. Então, o nosso volume aqui
será a integral... Quais vão ser os nossos
pontos de interseção? Os pontos em que as funções
fazem uma interseção. Bem, mais uma vez, podemos definir o intervalo
em qualquer outro lugar, tudo bem? Como daqui até aqui,
ou de qualquer ponto a qualquer ponto, mas, de acordo com
a nossa visualização aqui, e é o que nos importa neste problema, queremos tomar os limites entre x = 0 e x = 1, que são os dois pontos onde
essas duas funções fazem a interseção. Já vimos isso no último vídeo, inclusive. Isso aqui de π vezes... Bem, temos aqui que f(x) é a √x. Tomando isto aqui ao quadrado,
vamos ter x menos... g(x) = x.
x² é x²... E multiplicamos isso por dx. Podemos fatorar isto aqui e colocar o π para fora da integral. Assim, vamos ter π vezes
a antiderivada de (x - x²). A antiderivada de x
é igual a x² sobre 2. E a antiderivada de x²
é igual a x³ sobre 3. Vamos avaliar isso no intervalo
de integração indo de 0 a 1. Bem, vamos ter aqui π vezes tudo isto aqui calculado em 1. Assim, vamos ter 1/2 - 1/3 menos tudo isso avaliado em zero. Bem, quando calcularmos isso em zero, vamos ter isto aqui como zero, então, vai sobrar apenas 1/2 - 1/3. Agora, quanto é 1/2 - 1/3? Bem, é 1/6. Então, a nossa resposta aqui vai ser π vezes 1/6,
que é π/6. O que é a mesma coisa
que encontramos no último vídeo. Isso é porque fizemos
a mesma coisa no último vídeo, mas com um conceito
um pouco diferente. Neste vídeo, nós generalizamos
em termos de f(x) e g(x), que é o método que nós chamamos
de método da arruela. O que é a mesma coisa
que utilizar o método do disco para a parte externa e a parte interna, conforme fizemos no último vídeo.