O método da arruela rotacionando em torno de uma reta vertical (não o eixo y), parte 2

Oi e aí pessoal tudo bem utilizando o método do anel ou método da anilha nós vamos ser capazes de calcular o volume desse sólido de revolução então isso aqui é o volume tudo isso aqui foi feito no vídeo interior podemos colocar o em evidência E aí vamos ficar com o pe que multiplica a integral de 0 a 1 disso aqui que é um produto notável e que resolvendo vamos ficar com 4 - 4 que multiplica y ao quadrado mais Y elevado a quarta ou seja eu apliquei quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo e subtraímos isso por essa parte aqui de novo é um produto notável e que resolvendo vamos ficar com quatro e multiplica - 4 o y + y já que isso aqui é o quadrado vai dar e y e ainda tem da Y aqui fora e vamos ficar com o pe que multiplica a integral de 0 a 1 e vamos ver se conseguimos simplificar isso Veja bem se fizermos a distributiva aqui vamos ficar com o -4 e ele vai ser cancelado com esse quatro aqui também tem um Y elevado a quarta que é o maior termo que eu vou colocar aqui tem esse -4 e y ao quadrado que eu posso colocar aqui também temos esse Y positivo que multiplicado por esse menos um vai ficar negativo então menos y e ainda tem esse -4 que multiplica a raiz quadrada de y que multiplica esse menos um ficando de Positivo e aí vamos ficar com mais quatro que multiplica a y e levar o meio que é a mesma coisa que a raiz quadrada de y claro eu fiz isso aqui para facilitar o cálculo da integral e multiplicamos tudo isso poder y e calculando essa integral nós vamos ficar com o pique multiplica a integral de y a quarta que dá Y elevado a 5 / 5 - a integral de quatro y ao quadrado que vai ser quatro terços de y Ao Cubo menos a integral de y que vai ser y ao quadrado sobre 2 mais a integral de 4 x e y elevado a meio que é 83 de y elevado a 3 de meios e avaliamos isso de 0 até 1 e como podemos fazer isso simples substituindo esse um aqui no lugar do Y e subtraindo pelo valor numérico a mãe se pegarmos o zero e substituirmos em cada um desses termos essa expressão vai gerar portanto Só precisamos avaliar em um ou seja vamos ficar com pi e multiplica tudo isso aqui é avaliado em um e se fizermos isso já resolvemos vamos ficar com um 5º - 43 - meio mais oito terços Isso vai ser igual up que multiplica isso podemos resolver achando o MMC desses denominadores que dá 30 então dividimos isso por 30 e 30 dividido para cinco das seis x 1 das seis então seis aqui e 30 dividido para 3 da dez vezes menos quatro vai dar menos 40 E aí 30 dividido por 2 da 15 vezes menos um vai dar menos 15 e 30 de e por três da 10 vezes oito vai dar 80 E aí vamos ficar com o pin que multiplica essa soma dividido por 30 que vai dar 31 vezes pe ou seja 31p sobre 30 unidades de volume e eu espero que as aula ter te ajudado e até a próxima pessoal