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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 12: Integrais definidas de funções comuns- Integrais definidas: regra da potência reversa
- Integrais definidas: regra da potência reversa
- Integral definida de uma função racional
- Integral definida de uma função irracional
- Integral definida de uma função trigonométrica
- Integral definida com um logaritmo natural
- Integrais definidas: funções comuns
- Integral definida de uma função definida por partes
- Integral definida de uma função modular
- Integrais definidas de funções definidas por partes
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Integral definida de uma função definida por partes
Neste vídeo, calculamos a integral definida de uma função definida por partes em um intervalo que passa pelos dois casos da função.
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- Porque é necessario multiplicar a integral por 1/pi por causa da antiderivada pi x cos(x)(3 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Nós temos aqui uma função f(x) sendo igual a x mais 1 para x menor que zero e cosseno de (πx)
para x maior ou igual a zero. O que nós queremos fazer neste vídeo
é calcular a integral definida com os limites de integração
indo de -1 até 1 de f(x). Como que a gente poderia calcular a integral dessa função
se temos duas formas aqui? Nesse caso, qual das duas formas que a gente usaria
para calcular a antiderivada? Uma forma de fazer isso é observar os limites de integração e observar qual forma está definida
para cada intervalo. Assim, por exemplo, a gente vai ter que f(x)
vai ser igual a x mais 1 para todos os valores
que são menores que zero e a gente vai ter o cosseno de (πx) para todos os valores que são maiores
ou iguais a zero. Como a gente quer calcular uma integral que vai desde um valor negativo
até um valor positivo, a gente vai pegar essa integral
e dividir em duas integrais, em que uma integral vai avaliar do -1 ao zero e a outra vai avaliar do zero até 1. Assim a gente vai poder utilizar
cada uma dessas formas e calcular a antiderivada delas
nos intervalos observados. Por exemplo, a gente vai pegar esta integral
e dividir em uma integral definida com os limites de integração
indo de -1 até zero. Neste caso, qual das duas formas
a gente vai usar para integrar? Eu sei que x mais 1
é a forma de f(x) para os valores que são menores que zero. Como a gente quer integrar de -1 até zero, vamos integrar em valores
que são menores que zero, então vamos usar essa forma aqui. Então a gente vai dividir essa integral
em duas integrais, em que uma vá de -1 até zero para f(x), a integral de f(x) nesse limite de integração dx, mais a integral
indo de zero até 1 de f(x) dx. Tudo bem, mas por que a gente fez
essa separação aqui? Por que a gente dividiu essa integral
nessas duas integrais? A gente fez isso porque essa primeira parte
desta função x mais 1 é definida nesse intervalo
para valores menores que zero e o mesmo se aplica a essa outra forma aqui,
o cosseno de (πx), já que o cosseno de (πx) está definido para valores
que são maiores ou iguais a zero e aqui a gente vai integrar de zero a 1, a gente vai fazer uma integração em um intervalo
na qual essa forma que está definida. Então na integral indo de -1 até zero de f(x) dx, a gente vai usar a forma x mais 1. A gente vai integrar esta forma nesse intervalo e aqui a gente vai integrar a outra forma da função, ou seja, cosseno de (πx). Agora que a gente já fez isso aqui, podemos calcular a integral
de cada uma delas separadamente e depois somar os resultados. Por exemplo, vamos calcular a integral
indo de -1 até zero de x mais 1. x mais 1 dx. Como se trata de uma integral definida, basta a gente calcular a antiderivada de x mais 1 e depois substituir pelos valores zero e -1. Então vamos fazer isso aqui. A gente vai calcular a antiderivada
de x mais 1. A antiderivada de x mais 1,
utilizando a regra da potência, vai ser a antiderivada de x,
que é (x²) sobre 2 (lembrando que quando não tem nada no expoente,
na verdade a gente tem 1) então a gente vai somar 1 ao expoente, e 1 mais 1 é igual a 2, e depois dividir pelo resultado,
que é 2. Mas como a gente tem 1 aqui,
basta colocar x. A antiderivada de 1 é igual a x. Então a gente vai calcular,
avaliar isso aqui no ponto zero e -1. Primeiro a gente avalia isso em zero, então a gente vai ter (0² sobre 2) mais zero, já que a gente vai substituir todos os x por zero menos a mesma coisa, só que com -1. A gente vai substituir todos os x por -1. Então a gente vai ter
((-1)² sobre 2) mais -1. Calculando esses valores,
0² sobre 2 é zero, zero mais zero é zero, então isso aqui é zero. (-1)² é igual a 1, então a gente vai ter que (1 sobre 2) menos 1. (1 sobre 2) menos 1
é igual a -1 sobre 2. Então a gente vai ter aqui -½, porém tem um sinal de menos aqui. Menos vezes -½ é igual a ½. A gente tem ½ positivo,
que é o resultado dessa integral. Então a gente já sabe que a integral dessa parte aqui
é igual a ½. Agora a gente pode partir para baixo
e calcular a integral da segunda parte. A gente vai calcular a integral definida
com os limites de integração indo de zero a 1 do cosseno de (πx) dx. Para calcular essa integral,
a gente precisa saber a antiderivada do cosseno. Para determinar a antiderivada do cosseno é fácil, é só procurar uma função
em que a derivada dela dê o cosseno e a gente já até conhece isso. A gente sabe que se calcular a derivada
em relação a x do seno de x, nós vamos chegar ao cosseno de x, certo? Então a antiderivada do cosseno de x
é o seno de x. Porém eu tenho um π aqui dentro, certo? Neste caso como que a gente poderia calcular
a antiderivada do cosseno de (πx)? Existem algumas regras que nós podemos utilizar. Por exemplo, a gente poderia usar o método da substituição,
e chamar isso aqui de "u". Mas existem outros métodos também. Exemplo: a gente sabe que a derivada em relação a x
do seno de (πx) vai ser igual a quanto? Para derivar isso aqui
a gente pode utilizar a regra da cadeia. Derivando a função de fora e a derivada do seno, conforme a gente já viu, vai ser o cosseno, então a gente vai ter aqui o cosseno de (πx) multiplicando pela derivada da função
aqui de dentro em relação a x. A derivada de (πx) em relação a x
é igual a π. Então nós temos que a derivada do seno de (πx)
é igual a π vezes o cosseno de (πx), certo? Então para determinar a antiderivada
do cosseno de (πx) a gente sabe que tem que ter um π
aqui na frente, não é? Porque assim a gente vai saber
que a derivada de π vezes o cosseno de (πx) é igual ao seno de (πx). Como eu faço surgiu um π aqui na frente? Basta colocar π na frente. Se eu multipliquei pelo π,
é necessário também dividir aqui pelo π. Então dividindo e multiplicando pelo π a gente não altera o resultado dessa função, certo? Assim eu já tenho o π necessário
para determinar a antiderivada dessa expressão. Eu já sei que a antiderivada dessa expressão
vai ser igual a quê? A 1 sobre π porque, afinal de contas,
a gente colocou esse π dividindo vezes a antiderivada
de π vezes o cosseno de (πx). A antiderivada de π vezes o cosseno de (πx), conforme vimos, é o seno de (πx). Então isso aqui vezes o seno de (πx) avaliado no intervalo de integração de zero até 1. Isso vai ser igual a quanto? Aqui a gente vai repetir 1 sobre π vezes isso calculado em 1
e isso calculado em zero. Então nós vamos ter aqui o seno de π vezes 1 menos o seno de π vezes zero. π vezes 1 é π, e o seno de π a gente já sabe
que é igual a zero. A mesma coisa aqui. A gente vai ter π vezes zero, e o seno de zero também é igual a zero. 1 sobre π vezes zero é igual a zero, então essa parte toda, ou seja, a integral indo de zero a 1 do cosseno de πx dx
é igual a zero. Então a integral indo de -1 a 1 de f(x) dx vai ser igual a ½ mais zero,
que é igual a ½. Dessa forma a gente consegue calcular a integral definida
quando se tem uma função assim. Então sempre que você encontrar coisas desse jeito, você pode calcular integral de forma separada
e depois somar todos os resultados, assim você vai conseguir chegar na resposta
com muito mais facilidade.