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Integral definida de uma função definida por partes

Transcrição de vídeo

nós temos aqui uma função fdx sendo igual à x mais um para x menor que 0 e cosseno de pyxis para x maior ou igual a zero eo que nós queremos fazer aqui nesse vídeo é calcular a integral definida com os limites de integração e de menos 11 até um df dx como que a gente poderia calcular a integral dessa função se a gente tem duas formas aqui nesse caso qual das duas formas que a gente ia usar para calcular ante derivada de uma forma de fazer isso é observar os limites de integração e observar qual forma que está definido para qual intervalo assim por exemplo a gente vai ter que fdx vai ser igual à x mais um para todos os valores que são menores que zero ea gente vai ter o oceano de pyxis para todos os valores que são maiores ou igual a zero e como a gente quer calcular uma integral que vai desde um valor negativo até um valor positivo a gente vai pegar essa integral e dividir em duas integrais em que uma integral vai avaliado - 1 a 0 ea outra vai avaliar do zero até um assim a gente vai poder utilizar cada uma dessas formas e calcula ante derivada delas nos intervalos observados por exemplo a gente vai pegar essa integral aqui e vai dividir em uma integral definida com os limites de integração indo de -1 até zero e aí nesse caso qual das duas formas é que a gente vai usar para integrar bem eu sei que x + 1 é a forma de apps de x para os valores que são menores que zero como a gente quer integrar de -1 até 0 a gente vai integrar em valores que são menores fizeram a gente vai usar essa forma que então a gente vai dividir essa integral em duas integrações em que uma vai de menos 1 até zero para fdx integral de fdx nesse limite de integração de x mas a integral indo de 0 até um df de xdx tudo bem mas por que que a gente fez essa separação aqui porque a gente dividiu essa integral nessas duas integrais a gente fez isso porque essa primeira arte aqui dessa função x de mais um é definida nesse intervalo para valores menores que 0 e o mesmo se aplica a essa outra forma que o cosseno dpx já que o cosseno t pyxidis está definido para valores que são maiores ou iguais a zero e aqui a gente vai integrar de 01 a gente vai fazer uma integração em um intervalo na qual essa forma que está definida então é integral indo de menos 1 a 0 de fdx dx a gente vai usar a forma x mais um a gente vai integrar essa forma que nesse intervalo e aqui a gente vai integrar outra forma da função ou seja o cosseno de pvc x beleza e agora que a gente já fez isso aqui a gente pode calcular a integral de cada uma delas separadamente depois sua maus resultados por exemplo vamos calcular a integral indo de menos 11 até zero de x + 1 x mais um de x men como se trata de uma integral definida basta a gente calcular aqui antes derivada de x mais um depois substituir pelos valores zero e menos um então vamos fazer isso aqui a gente vai calcular a amt derivada de x + 1 e anti derivada de x + 1 utilizando a regra da potência vai se ante derivada de x que a x ao quadrado sobre dois lembram que quando a gente não tem nada no expoente na verdade a gente tem com um então a gente vai somar que um dos points e um mais um é igual a 2 e depois dividir pelo resultado que é 2 mas como a gente tem um aqui basta colocar o x sant derivada de um é igual à x aí a gente vai calcular avaliar isso daqui no ponto zero e menos um então primeiro a gente avalia isso em zero então a gente vai ter zero e levado ao quadrado sobre dois mais 0 já que a gente vai substituir todos os dias por 0 - a mesma coisa agora só quem menos um que a gente vai pegar substituir todos os x ac por menos um então a gente vai ter menos um elevado ao quadrado sobre dois mais - 1 - um aqui vem calculando esses valores a quiseram quadrados sobre 2010 +0 02 daqui a 0 - 1 ao quadrado é igual a 1 então a gente vai ter um sobre 21 sobre 2 - 1 sobre dois - um é igual a menos 1 sobre dois agentes vai ter aqui - um sobre dois porém a gente tem um sinal de menos aqui - vezes - um sobre dois é igual a 1 sobre dois a gente tem um sobre o dispositivo que é o resultado dessa integral então a gente já sabe que é integral dessa parte aqui é igual a 1 sobre dois agora a gente pode partir para baixo e calcular integral da segunda parte a gente vai calcular a integral definida com os limites de integração e de 0 a 1 do coseas no dp visite x de x beleza bem para calcular essa integral gente precisa saber a amt derivada do cosseno pra determinante derivado do conselho é fácil é só procurar uma função em que a derivada dela de o cosseno ea gente já até conhece isso a gente sabe que se a gente calcular derivado em relação à x do oceano de x nós vamos chegar ao cosseno dx certo então antes de elevada do oceano de x é oceano de x porém aqui eu tenho um piá que dentro certo nesse caso como que a gente poderia calcular ante derivada do conselho de pyxis bem existem algumas regras que nós podemos utilizar por exemplo a gente poderia usar o método da substituição chamar isso daqui dilma mas existem outros métodos também exemplo a gente sabe que é derivada em relação à x do selo de pi x vai ser igual a quando bem para derivar isso aqui a gente pode utilizar a regra da cadeia levando a função de fora ea derivada do senado conforme a gente já viu vai ser o cosseno então a gente vai ter aqui o cosseno dpx e multiplicando pela derivada da função aqui dentro em relação à x a derivada de pyxis em relação à x é iguape então nós temos cadeiras nada do selo de peixes é iguape vezes o cosseno de pi viso x certo então pra gente determinante derivado do conselho de pyxis a gente sabe que tem que ter um piá que na frente não tem porque aí a gente vai saber que a derivada de pvc o cosseno de peixes é igual ao senado de peixes e como eu faço surgiu um pique na frente basta colocar o pique na frente e se eu multipliquei pelo ppi é necessário também divide aqui pelo p então dividido e multiplicando pelo ppi a gente não altera o resultado dessa função certo e aí eu já tenho pia que necessário para determinante derivada dessa expressão bem eu já sei que antes de elevada dessa expressão aqui vai ser igual ao que a 1 sobre porque afinal de contas a gente colocou esse pia que dividindo certo que existe antes derivada de pisos o cosseno dpx diante da elevada de piso com o cene x conforme vimos é o cena de peixes então isso daqui vezes os e nudep x avaliado no intervalo de integração de zero até um tá isso vai ser igual a quanto que a gente vai repetir um sobre ip vezes isso calculado em 1 e isso calculado em zero então nós vamos ter a qui ocê nudep vezes 1 - os e no dp 0 ok me vezes um ep e oceano de pi a gente já sabe que é igual a zero ea mesma coisa que a gente vai ter piva 0 e oceano de zero também é igual a zero um sobre pvc zero é igual a zero então essa parte que toda ou seja integral indo de 0 a 1 do oceano de xx é igual a zero então a integral indo de menos 1 a 1 de fd xdx vai ser igual a 1 sobre dois mais 0 que é igual a 1 sobre dois é dessa forma a gente conseguiu calcular a integral definida quando a gente tem uma função dessa forma então sempre que você encontrar coisas dessa forma pode calcular integral de forma separada e depois somar todos os resultados assim você vai conseguir chegar na resposta com muito mais facilidade