Integral definida de uma função definida por partes

RKA4JL - Nós temos aqui uma função f(x) sendo igual a x mais 1 para x menor que zero e cosseno de (πx) para x maior ou igual a zero. O que nós queremos fazer neste vídeo é calcular a integral definida com os limites de integração indo de -1 até 1 de f(x). Como que a gente poderia calcular a integral dessa função se temos duas formas aqui? Nesse caso, qual das duas formas que a gente usaria para calcular a antiderivada? Uma forma de fazer isso é observar os limites de integração e observar qual forma está definida para cada intervalo. Assim, por exemplo, a gente vai ter que f(x) vai ser igual a x mais 1 para todos os valores que são menores que zero e a gente vai ter o cosseno de (πx) para todos os valores que são maiores ou iguais a zero. Como a gente quer calcular uma integral que vai desde um valor negativo até um valor positivo, a gente vai pegar essa integral e dividir em duas integrais, em que uma integral vai avaliar do -1 ao zero e a outra vai avaliar do zero até 1. Assim a gente vai poder utilizar cada uma dessas formas e calcular a antiderivada delas nos intervalos observados. Por exemplo, a gente vai pegar esta integral e dividir em uma integral definida com os limites de integração indo de -1 até zero. Neste caso, qual das duas formas a gente vai usar para integrar? Eu sei que x mais 1 é a forma de f(x) para os valores que são menores que zero. Como a gente quer integrar de -1 até zero, vamos integrar em valores que são menores que zero, então vamos usar essa forma aqui. Então a gente vai dividir essa integral em duas integrais, em que uma vá de -1 até zero para f(x), a integral de f(x) nesse limite de integração dx, mais a integral indo de zero até 1 de f(x) dx. Tudo bem, mas por que a gente fez essa separação aqui? Por que a gente dividiu essa integral nessas duas integrais? A gente fez isso porque essa primeira parte desta função x mais 1 é definida nesse intervalo para valores menores que zero e o mesmo se aplica a essa outra forma aqui, o cosseno de (πx), já que o cosseno de (πx) está definido para valores que são maiores ou iguais a zero e aqui a gente vai integrar de zero a 1, a gente vai fazer uma integração em um intervalo na qual essa forma que está definida. Então na integral indo de -1 até zero de f(x) dx, a gente vai usar a forma x mais 1. A gente vai integrar esta forma nesse intervalo e aqui a gente vai integrar a outra forma da função, ou seja, cosseno de (πx). Agora que a gente já fez isso aqui, podemos calcular a integral de cada uma delas separadamente e depois somar os resultados. Por exemplo, vamos calcular a integral indo de -1 até zero de x mais 1. x mais 1 dx. Como se trata de uma integral definida, basta a gente calcular a antiderivada de x mais 1 e depois substituir pelos valores zero e -1. Então vamos fazer isso aqui. A gente vai calcular a antiderivada de x mais 1. A antiderivada de x mais 1, utilizando a regra da potência, vai ser a antiderivada de x, que é (x²) sobre 2 (lembrando que quando não tem nada no expoente, na verdade a gente tem 1) então a gente vai somar 1 ao expoente, e 1 mais 1 é igual a 2, e depois dividir pelo resultado, que é 2. Mas como a gente tem 1 aqui, basta colocar x. A antiderivada de 1 é igual a x. Então a gente vai calcular, avaliar isso aqui no ponto zero e -1. Primeiro a gente avalia isso em zero, então a gente vai ter (0² sobre 2) mais zero, já que a gente vai substituir todos os x por zero menos a mesma coisa, só que com -1. A gente vai substituir todos os x por -1. Então a gente vai ter ((-1)² sobre 2) mais -1. Calculando esses valores, 0² sobre 2 é zero, zero mais zero é zero, então isso aqui é zero. (-1)² é igual a 1, então a gente vai ter que (1 sobre 2) menos 1. (1 sobre 2) menos 1 é igual a -1 sobre 2. Então a gente vai ter aqui -½, porém tem um sinal de menos aqui. Menos vezes -½ é igual a ½. A gente tem ½ positivo, que é o resultado dessa integral. Então a gente já sabe que a integral dessa parte aqui é igual a ½. Agora a gente pode partir para baixo e calcular a integral da segunda parte. A gente vai calcular a integral definida com os limites de integração indo de zero a 1 do cosseno de (πx) dx. Para calcular essa integral, a gente precisa saber a antiderivada do cosseno. Para determinar a antiderivada do cosseno é fácil, é só procurar uma função em que a derivada dela dê o cosseno e a gente já até conhece isso. A gente sabe que se calcular a derivada em relação a x do seno de x, nós vamos chegar ao cosseno de x, certo? Então a antiderivada do cosseno de x é o seno de x. Porém eu tenho um π aqui dentro, certo? Neste caso como que a gente poderia calcular a antiderivada do cosseno de (πx)? Existem algumas regras que nós podemos utilizar. Por exemplo, a gente poderia usar o método da substituição, e chamar isso aqui de "u". Mas existem outros métodos também. Exemplo: a gente sabe que a derivada em relação a x do seno de (πx) vai ser igual a quanto? Para derivar isso aqui a gente pode utilizar a regra da cadeia. Derivando a função de fora e a derivada do seno, conforme a gente já viu, vai ser o cosseno, então a gente vai ter aqui o cosseno de (πx) multiplicando pela derivada da função aqui de dentro em relação a x. A derivada de (πx) em relação a x é igual a π. Então nós temos que a derivada do seno de (πx) é igual a π vezes o cosseno de (πx), certo? Então para determinar a antiderivada do cosseno de (πx) a gente sabe que tem que ter um π aqui na frente, não é? Porque assim a gente vai saber que a derivada de π vezes o cosseno de (πx) é igual ao seno de (πx). Como eu faço surgiu um π aqui na frente? Basta colocar π na frente. Se eu multipliquei pelo π, é necessário também dividir aqui pelo π. Então dividindo e multiplicando pelo π a gente não altera o resultado dessa função, certo? Assim eu já tenho o π necessário para determinar a antiderivada dessa expressão. Eu já sei que a antiderivada dessa expressão vai ser igual a quê? A 1 sobre π porque, afinal de contas, a gente colocou esse π dividindo vezes a antiderivada de π vezes o cosseno de (πx). A antiderivada de π vezes o cosseno de (πx), conforme vimos, é o seno de (πx). Então isso aqui vezes o seno de (πx) avaliado no intervalo de integração de zero até 1. Isso vai ser igual a quanto? Aqui a gente vai repetir 1 sobre π vezes isso calculado em 1 e isso calculado em zero. Então nós vamos ter aqui o seno de π vezes 1 menos o seno de π vezes zero. π vezes 1 é π, e o seno de π a gente já sabe que é igual a zero. A mesma coisa aqui. A gente vai ter π vezes zero, e o seno de zero também é igual a zero. 1 sobre π vezes zero é igual a zero, então essa parte toda, ou seja, a integral indo de zero a 1 do cosseno de πx dx é igual a zero. Então a integral indo de -1 a 1 de f(x) dx vai ser igual a ½ mais zero, que é igual a ½. Dessa forma a gente consegue calcular a integral definida quando se tem uma função assim. Então sempre que você encontrar coisas desse jeito, você pode calcular integral de forma separada e depois somar todos os resultados, assim você vai conseguir chegar na resposta com muito mais facilidade.