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Integral definida como o limite de uma soma de Riemann

Somas de Riemann nos ajudam a aproximar integrais definidas, mas também nos ajudam a defini-las formalmente. Aprenda como isso é feito e como podemos alternar entre a representação da área como uma integral definida e como uma soma de Riemann.
Integrais definidas representam a área sob a curva de uma função e as somas de Riemann nos ajudam a aproximar estas áreas. A questão permanece: existe alguma maneira de calcular o valor exato de uma integral definida?

Somas de Riemann com retângulos "infinitos"

Imagine que queiramos calcular a área sob o gráfico de f(x)=15x2 entre x=2 e x=6.
A função f está representada graficamente. O eixo x vai de 1 até 8. O gráfico é uma curva suave. A curva começa no quadrante 2, se move para baixo até um mínimo relativo em (0, 0), se move para cima e termina no quadrante 1. A região entre a curva e o eixo x, entre x = 2 e x = 6, está sombreada.
Usando a notação da integral definida, podemos representar a área exata:
2615x2dx
Podemos aproximar essa área usando as somas de Riemann. Seja R(n) a aproximação da soma de Riemann à direita de nossa área usando n subdivisões iguais (ou seja, n retângulos de largura igual).
Por exemplo, esta é R(4). Você pode notar que a área real está superestimada.
O gráfico da função f tem a região sob a curva dividida em 4 retângulos de largura 1. Cada retângulo toca a curva no canto superior direito.
A área sob a curva de f entre x=2 e x=6 é aproximada usando 4 retângulos de largura igual.
Podemos melhorar nossa aproximação dividindo a área em mais retângulos com menor largura, isto é, usando R(n) para valores maiores de n.
É possível ver como a aproximação se aproxima mais da área real à medida que o número de retângulos vai de 1 para 100:
O gráfico de função f é animado. A região sombreada é dividida em cada vez mais retângulos de largura igual, de 1 a 100. As áreas tornam-se menores, de R de 1 = aproximadamente 28,8 a R de 100 = aproximadamente 13,99.
Criado com Geogebra.
Evidentemente, ao usarmos cada vez mais retângulos, vamos nos aproximar ainda mais, mas uma aproximação sempre será apenas uma aproximação.
E se pudéssemos ter uma soma de Riemann com infinitas subdivisões iguais? Isto é possível? Não podemos definir n=, pois o infinito não é um número real, mas talvez você se lembre de que podemos tender algo ao infinito...
Limites!
Especificamente, este limite:
limnR(n)
Fato incrível 1: este limite realmente nos dá o valor exato de 2615x2dx.
Fato incrível 2: não faz diferença usar o limite de uma soma de Riemann à direita, de uma soma de Riemann à esquerda, ou de qualquer outra aproximação comum. No infinito, sempre teremos o valor exato da integral definida.
(A prova rigorosa destes fatos é demasiadamente elaborada para ser abordada neste artigo, mas isso não é um problema, pois estamos interessados apenas no raciocínio por trás da conexão entre somas de Riemann e integrais definidas).
Até o momento, usamos R(n) como um substituto da aproximação da soma de Riemann à direita com n subdivisões. Agora, vamos encontrar a expressão real.
Revisão rápida: buscamos Δx, a largura constante de qualquer retângulo, e xi, o valor de x da extremidade direita do iésimo retângulo. Então, f(xi) nos dará a altura de cada retângulo.
Δx=62n=4nxi=2+Δxi=2+4nif(xi)=15(xi)2=15(2+4ni)2
Portanto, a área do iésimo retângulo é 4n15(2+4ni)2, e somamos isso para valores de i de 1 a n:
R(n)=i=1n(2+4in)245n
Agora, podemos representar a área real como um limite:
=2615x2dx=limnR(n)=limni=1n(2+4in)245n

Por definição, a integral definida é o limite da soma de Riemann

O exemplo acima é um caso específico da definição geral de integrais definidas:
A integral definida de uma função contínua f sobre o intervalo [a,b], expressa por abf(x)dx, é o limite de uma soma de Riemann conforme o número de subdivisões se aproxima do infinito. Ou seja,
abf(x)dx=limni=1nΔxf(xi)
em que Δx=ban e xi=a+Δxi.

Se tivermos que escrever uma soma de Riemann a partir de uma integral definida...

Imagine que tenhamos que escrever a seguinte integral definida como o limite de uma soma de Riemann.
π2πcos(x)dx
Primeiramente, vamos calcular Δx:
Δx=ban=2ππn=πn
Agora que temos Δx, podemos calcular xi:
xi=a+Δxi=π+πni=π+πin
Portanto,
π2πcos(x)dx=limni=1nπncos(π+πin)

Pratique escrever somas de Riemann a partir de integrais definidas

Problema 1
03exdx=?
Escolha 1 resposta:

Problema 2
1elnxdx=?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: chegar a uma expressão errada para Δx

Por exemplo, no problema 2, podemos imaginar que um aluno talvez defina Δx como en ou 1n, em vez de e1n. Outro exemplo é simplesmente usar dx para Δx. Lembre-se de que dx é usada apenas na notação da integral, e não na soma. Ela nos diz que a integração está relacionada a x.

Outro erro comum: chegar a uma expressão errada para xi

Um aluno pode esquecer de somar a a Δxi, o que resultará em uma expressão errada. Por exemplo, no problema 2, um aluno talvez defina xi como sendo e1ni, em vez de 1+e1ni.

Se tivermos que escrever uma integral definida a partir do limite de uma soma de Riemann...

Imagine que tenhamos que encontrar uma integral definida equivalente a este limite:
limni=1nln(2+5in)5n
Isso significa que temos que encontrar o intervalo de integração [a,b] e a f(x) integrando. Então, a integral definida correspondente será abf(x)dx.
Sabemos que toda soma de Riemann tem duas partes: a largura Δx e a altura f(xi) de cada retângulo da soma. Olhando este limite específico, podemos fazer escolhas razoáveis para as duas partes.
limni=1nln(2+5in)5n
Retângulos de largura uniforme: a expressão 5n é uma escolha razoável para a largura de nossos retângulos, Δx, pois ela não depende do índice i. Isto significa que Δx será igual para todos os termos da soma, que é o que esperaríamos de uma soma de Riemann na qual todos os retângulos têm a mesma largura.
Retângulos de altura variável: a expressão ln(2+5in) depende de i, o que a torna uma boa escolha para representar a altura, f(xi). A escolha mais natural para xi é 2+5in, portanto vamos desenvolver isso, o que significa que estamos integrando a função f(x)=ln(x).
Para determinar os limites de integração, a e b, vamos retornar às definições gerais de Δx e xi em relação à integral definida.
Como definido acima, xi=a+Δxi . Neste problema em específico, xi=2+5in, que pode ser escrito como 2+5ni, portanto a deve ser igual a 2.
Como definido acima, Δx=ban . Neste problema em específico, Δx=5n. Os dois denominadores são n, então os numeradores devem ser iguais a: ba=5. Já sabemos que a=2, então podemos concluir que b=7.
Ao juntarmos todas essas informações, chegamos a esta integral definida que é igual ao limite da soma de Riemann:
27ln(x)dx

Pratique escrever integrais definidas a partir de somas de Riemann

Problema 3.A
O conjunto de problemas 3 o guiará pelas etapas do cálculo da integral definida representada por esta expressão:
limni=1n(3+4in)24n
Qual é o Δx nesta expressão?
Escolha 1 resposta:

Dificuldade comum: encontrar o Δx na expressão da soma de Riemann

Quando a expressão somada é complexa e inclui diversas frações, pode ser difícil identificar qual parte dela é o Δx.
Lembre-se de que o Δx deve ser um fator da expressão somada, na forma kn, em que k não contém o índice i do somatório.

Outra dificuldade comum: encontrar os limites de integração

Observe como, no conjunto de problemas 3, o fato de Δx=4n nos informou que ba=4. Isso é útil, mas sem determinar a não saberemos quais são a e b. Podemos determinar a usando o fato de que xi=3+4in.
Um erro comum é assumir imediatamente que se, por exemplo, Δx=4n, então os limites de integração serão [0,4].

Uma última dificuldade comum: dificuldade geral de análise da expressão

Alguns alunos simplesmente não sabem por onde começar.
Comece com a expressão somada. Você deve ser capaz de identificar dois fatores: um na forma kn (em que k não contém o índice i do somatório) e outro que é uma função de i. O primeiro lhe dará Δx e o outro, f(xi).
Problema 4
limni=1n4+5in5n=?
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Experimente este exercício.

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