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Exemplo prático: reescrevendo uma integral definida como o limite de uma soma de Riemann

Dada uma expressão integral definida, podemos escrever o limite correspondente de uma soma de Riemann com infinitos retângulos.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Olá, meu amigo minha ou amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos reescrever uma integral definida como limite da soma de Riemann. Sendo assim, vamos dizer que eu queira calcular a integral definida com os limites de integração indo de π a 2π do cos(x) dx. O que eu quero fazer é escrever isso como o limite com "n" tendendo ao infinito de uma soma de Riemann. Então, vamos assumir a forma de um limite ou com "n" tendendo ao infinito, aí colocamos a notação Σ aqui. Vamos dizer que vamos realizar essa soma indo de "i = 1" até um determinado "n". Eu vou desenhar aqui embaixo o que realmente está acontecendo para que a gente possa ter uma noção melhor do que vamos escrever dentro da notação Σ. Eu vou colocar um π aqui. Aqui, eu vou colocar um 3π/2 e aqui eu vou colocar um 2π. Agora, deixa eu te perguntar. Como que é o gráfico do cos(x)? Bem, em π, o cos(π) é -1, então temos -1. Já o cos(2π) é 1, então, ele fica aqui. Sendo assim, o gráfico vai fazer algo assim. E claro, isto é apenas uma versão desenhada à mão livre, mas você já viu funções cosseno antes, não é? Então sabe que isto é apenas uma parte do gráfico, e esta parte representa o nosso intervalo de integração. Com isso, sabemos que a integral definida vai representar a área entre a curva e o eixo "x", que vai de π a 2π. Como você pode observar, esta área, ou esta parte da integral definida, vai ser negativa, e esta parte vai ser positiva. Com isso, uma acaba cancelando a outra, e aí temos um resultado que vai ser igual a zero. Porém, o que queremos fazer neste vídeo é reescrever isso como um limite com "n" tendendo ao infinito de uma soma de Riemann. Em uma soma de Riemann, o que queremos fazer é pensar em dividir isto aqui em vários retângulos. Sendo assim, vamos dizer que temos um "n" número de retângulos aqui. O primeiro vai estar aqui, e este pode ser o nosso segundo. Vamos fazer a soma de Riemann à direita, onde o limite direito do nosso retângulo vai ser o valor da função nesse ponto, e é isso que vai definir a altura. Então, este é o nosso segundo, e seguindo todo o caminho até este ponto bem aqui, teremos o nosso enésimo aqui. Vamos escrever isso aqui. Este é "i" sendo igual a 1, esse é "i" sendo igual a 2, e aí fazemos isso por todo o caminho até "i = n'. Se a gente pegar o limite com "n" tendendo ao infinito, a soma das áreas desses retângulos vai ficar cada vez melhor. Sabendo disso, vamos inicialmente pensar sobre qual vai ser a largura de cada um desses retângulos. Bem, eu estou observando aqui no intervalo que vai de π a 2π. Sendo assim, eu posso dividir isto em "n" intervalos iguais, ou seja, a largura de cada um desses retângulos vai ser 2π - π. Eu estou apenas pegando a diferença entre os meus limites de integração. E aí, eu divido isso por "n", ou seja, temos que a largura de cada retângulo será π/n. Isto é π/n, isso é π/n e isso é π/n. Agora, qual é a altura de cada um desses retângulos? Lembre-se de que esta é uma soma de Riemann à direita, então, é a extremidade direita do nosso retângulo que vai definir a altura. Sabendo disso, qual é a altura disso aqui? Bem, esta altura vai ser igual a "f", "f" de quê? Bem, aqui temos π, mais o comprimento do nosso intervalo bem aqui, ou seja, mais a base do nosso retângulo. Começamos em π, então, terá π + π/n. E aí podemos multiplicar isso com 1. E esta é a altura que temos aqui. E aqui, o que está acontecendo? Bem, aqui teremos f(π), que é o nosso início, mais π/n vezes alguma coisa. Mas que coisa? Teremos π/n vezes 2. Portanto, a forma geral do limite à direita vai ser, por exemplo, esta altura, que é f(π), que é onde começamos, mas, como estamos fazendo uma soma de Riemann à direita, adicionamos a esse π, π/n, "n" vezes, por isso que temos π/n vezes "n". Ou seja, se a gente quiser escrever isso aqui de uma forma geral, se estamos falando sobre o "iésimo" retângulo, vamos colocar o que aqui no somatório? Aqui, colocamos a altura, que vai ser a função "f", que é o cos(π), mais, se estamos falando do iésimo retângulo, vamos adicionar a esse "π", π/n vezes "i". Esta é a altura de cada um dos nossos retângulos. Aí devemos multiplicar isso com a largura, que, neste caso, vai ser o quê? Bem, nós já descobrimos isso, a largura é π/n. Aqui está, acabamos de expressar essa integral definida como o limite de uma soma de Riemann direita. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho, e mais uma vez eu quero deixar aqui para você um grande abraço, e até a próxima!