Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: regra da cadeia

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. O objetivo deste vídeo é mostrar como encontrar a derivada usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia. Sabendo disso, vamos dizer que a gente tenha uma função f(x) e que isso seja igual à integral definida com os limites de integração indo de 1 a sen(x) de (2t - 1) dt. O que queremos fazer aqui é encontrar é f'(x). Então, pause este vídeo e veja se você consegue descobrir isso. Ok, talvez você esteja sentindo um pouco de dificuldade aqui, principalmente, porque ao utilizar essa notação de integral, ao invés de ter um "x" no limite superior, temos um sen(x). Se fosse apenas um "x", eu poderia usar o teorema fundamental do cálculo. Só para revisar isso, se eu tivesse uma função, que eu vou chamar de h(x), em que h(x) é igual à integral definida com os limites de integração sendo 1 e "x" de (2t - 1) dt, nós sabemos pelo teorema fundamental do cálculo que a h'(x) é apenas igual à função interna substituindo o "t" pelo "x". Sendo assim, temos que h' = 2x - 1. Mas isso aqui não é tão simples assim. Em vez de ter um "x" aqui, o nosso limite superior é um sen(x). Uma forma de pensar sobre isso é a gente definindo g(x) como sendo igual ao sen(x). Com isso, o nosso F(x) pode ser expresso como F(x) sendo igual a "h" de, em vez do "x", a gente vai colocar g(x), assim, vamos ter h(g(x)). Ou seja, como eu falei, a gente colocou aqui no lugar de "x", o g(x), em que h(g(x)) é o nosso F(x). Agora, por que eu estou fazendo isso? Bem, isso pode começar a te ajudar a pensar sobre a regra da cadeia, porque se isso for verdade, então, F'(x) vai ser igual a h'(g(x)) vezes g'(x). E isso vai ser o quê? Bem, já sabemos o que h'(x) é. Esta parte aqui vai ser igual, só que em todos os lugares que a gente tem um "x", a gente vai substituir por g(x). Assim, isso será 2 vezes sen(x) - 1. E agora? O que é g'(x)? Bem, g'(x) é apenas a derivada do sen(x), que neste caso é o cos(x). Então, esta parte bem aqui vai ser o cos(x). A gente poderia agora tentar simplificar e melhorar esta expressão e escrevê-la de uma forma diferente. Mas para o objetivo deste vídeo, a gente pode parar por aqui. Eu espero que você tenha compreendido tudo que a gente viu aqui e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!