O teorema fundamental do cálculo e funções de acumulação

[RKA20C] Vamos dizer que temos uma função que é contínua em um certo intervalo. Então, vamos dizer que f é contínua em um intervalo que vai de a até b. Vamos dizer, então, que essa função tem este formato aqui, este gráfico. Então, aqui, nós temos o eixo y e o eixo t, já que essa função, que tem este formato aqui, é uma função de t. Como essa função é contínua em um certo intervalo, aqui nós vamos ter o primeiro extremo dessa função, que é no ponto a, e aqui nós vamos ter o outro extremo dessa função, que é no ponto b. Essa função, como eu disse, é uma função y sendo igual a f(t) e é contínua nestes dois extremos aqui, indo de a até b. Vamos dizer, agora, que definimos uma outra função, e que essa função determine para nós a área abaixo da curva neste intervalo, que vai de a até um ponto x qualquer. Como sabemos, a área abaixo de uma curva é determinada por meio da integral de Riemann, certo? Então, para determinarmos a área abaixo desta curva aqui, basta calcularmos a integral indo de a até o nosso ponto x, ou seja, trata-se de uma integral definida com dois limites de integração da nossa função f(t) dt. Então, essa integral definida vai nos indicar a área abaixo dessa curva nesse intervalo indo de a até x. Claro, não podemos esquecer que o x tem que estar dentro desse intervalo indo de a até b. Então, a gente coloca aqui: "onde x está [a, b]". O x não pode estar fora desse intervalo, ok? A gente vai dizer que esta integral aqui é uma função de x. Então, nós podemos colocar aqui um F maiúsculo, que é uma função de x, sendo igual à integral definida indo de a até x de f(t) dt. Lembre-se que isto aqui é um F maiúsculo, e isto é um f minúsculo, ok? Então, nós já definimos a nossa função: F(x) vai ser igual à integral definida indo de a até x de f(t) dt. Agora, uma coisa interessante que podemos fazer com essa função. Vamos supor que a gente queira derivar essa função em relação a x. O que a gente vai encontrar como resultado? Bem, existe um teorema que fala a respeito disso e esse teorema é chamado de Teorema Fundamental do Cálculo. Bem, o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se a gente derivar essa função, pegar aqui e derivar essa função F(x) em relação a x, a gente vai está derivando esta integral aqui em relação a x. Então, isso vai ser igual à derivada em relação a x da integral definida entre a e x de f(t) dt. Então, se a gente derivar em relação a x da integral definida dessa função, a gente vai encontrar como resposta a própria função f minúsculo aqui, só que, em vez de ser em relação a t, vai ser em relação a esse x. Então, é isso aqui que o Teorema Fundamental do Cálculo diz para a gente: que, se a gente tem a integral de uma função, a integral definida indo de um ponto pré-determinado até um outro ponto x qualquer, e a gente estiver integrando isso em relação ao t, a gente vai encontrar a própria função f(t), só que em relação a esse ponto x. Isso aqui é uma coisa muito interessante, porque isso mostra para a gente que toda função contínua em um certo intervalo possui uma antiderivada. Podemos até escrever isso aqui também. "Toda função contínua possui uma antiderivada F(x)." Olha só, se temos esta função y = f(t), essa função possui uma antiderivada, que é esse F(x), já que F(x) é igual à integral de f(t) dt. E, se a gente derivar essa antiderivada, afinal de contas, é por isso que ela é uma antiderivada, a gente vai encontrar esta função. Por isso que nós podemos dizer que toda função que é contínua em um certo intervalo possui uma antiderivada F(x). Além disso, esse Teorema Fundamental do Cálculo também faz uma outra coisa muito importante para a gente: relaciona o cálculo diferencial com o cálculo integral. Isso faz toda a diferença na resolução de diversos problemas. Vamos escrever isso aqui também. O Teorema Fundamental do Cálculo faz uma conexão, ou seja, relaciona o cálculo diferencial, ou seja, as derivadas, com o cálculo integral, ou seja, com a integral. Então, todas as vezes que a gente tiver uma função em que o y é igual ao f(t), a integral definida dessa função vai representar para a gente a área abaixo da curva vindo de um ponto inicial até um ponto x qualquer. E isso vai representar a antiderivada desta função, só que em relação a este ponto x. Caso a gente derive esta antiderivada, a gente vai encontrar a própria função, só que em relação a este ponto x. Tudo bem, isso tudo é muito interessante, mas como a gente poderia utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver diversos problemas que a gente pode encontrar? Vamos supor que a gente tenha uma determinada função que seja igual ao cosseno ao quadrado de t sobre o logaritmo natural de t menos a raiz quadrada de t. E que a gente queira calcular a integral dessa função indo de um ponto π até um ponto x qualquer, e em relação a t, já que, afinal de contas, a nossa função é em relação a t. Então, a gente coloca o dt aqui. E que, depois de calcular essa integral, a gente queira calcular a derivada dessa integral, só que em relação a x. O Teorema Fundamental do Cálculo diz o quê? Que, se a gente quiser calcular a derivada da integral de uma função, isso vai ser igual a essa própria função, só que em relação a x. Então, a gente vai pegar toda esta função aqui e substituir o t pelo x. Então, vai ser Cos²x sobre o logaritmo natural de x menos a raiz quadrada de x. Se você observar o Teorema Fundamental do Cálculo, a gente nem precisa se preocupar com este primeiro ponto aqui, deste intervalo. Basta se preocupar apenas com o segundo ponto que, neste caso, é o próprio x. Então, se a gente quer calcular a derivada de uma integral definida vindo de um ponto até o ponto x de uma certa função em relação a t, basta calcular essa mesma função em relação a x. Então, isto aqui corresponde ao nosso f(t), a nossa função f minúsculo de t, e isto aqui corresponde à nossa função f minúsculo, só que em relação a x. Aí, como eu disse, quando a gente estiver utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, basta fazer isso: pegar essa função f(t) e substituir todos os t por esse x. Assim, a gente nem precisa se preocupar com este ponto a aqui. Nos próximos vídeos, a gente vai ver mais alguns exemplos do Teorema Fundamental do Cálculo e como a gente pode utilizar essa ideia para resolver diversos problemas. Além disso, eu também vou mostrar um vídeo sobre como podemos utilizar a nossa intuição para resolver esses problemas, e também como podemos provar ou demonstrar o Teorema Fundamental do Cálculo.