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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 9: Teorema fundamental do cálculo e integrais definidasO teorema fundamental do cálculo e integrais definidas
Há na verdade duas versões do teorema fundamental do cálculo, e estudaremos a conexão aqui. Versão original criada por Sal Khan.
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RKA3JV - Olá, tudo bem? Aqui nós temos o gráfico
de uma função y = f(t). E aqui nós temos um intervalo
que vai de "c" até "d". Mais um detalhe, por que eu coloquei
o "c" e o "d" aqui? Bem, porque o "a" e o "b"
eu vou deixar reservado, porque eu vou usá-los
um pouco mais tarde. Tudo bem? Então, a gente vai ter aqui
apenas o intervalo "c" e "d". Vamos supor, também, que a gente tenha aqui
um outro ponto "x" qualquer e que a gente queira determinar
a área abaixo da curva, neste intervalo de "c" até "x". Bem, vamos supor que a gente tenha
uma função que indica para a gente a área desta curva
e esta função vai ser F(x). Bem, então, a área abaixo desta curva
vai ser essa função F(x). Beleza? E uma outra forma, também, de calcular a área abaixo desta curva, caso a gente já tenha uma função, seria calcular a integral definida neste intervalo aqui,
indo de "c" até "x". Então, neste intervalo
indo de "c" até "x", para esta função f(t) em relação a "dt". Um detalhe, o nosso
intervalo aqui é contínuo. E é, exatamente, por este
intervalo ser contínuo, que a gente pode
utilizar essa ideia aqui. Inclusive, isto aqui é chamado de
teorema fundamental do cálculo. E que diz para a gente que
a gente tem uma função F(x), em que essa função F(x) vai ser igual à integral
da função f(t) dt. Neste intervalo aqui, indo de "c" até "x", desde que este intervalo seja contínuo. Mas o que seria este F(x)? Este F(x) é chamado de
antiderivada de f(x). Ou seja, caso a gente
derive esta função F(x), a gente vai encontrar uma função f(x). Sendo assim, nós podemos dizer
que esta função "F" maiúsculo é uma antiderivada
de "f" minúsculo de "x". Isso indica para a gente que essa função,
além de ser contínua, também tem que ser
diferenciável neste intervalo. Ou seja, nós precisamos encontrar
a derivada desta função em qualquer ponto ao longo
deste intervalo. Beleza! Então, você conseguiu
entender a ideia? Essa função tem que ser contínua, ao longo deste intervalo indo de "c" até "x", e ela também tem que ser diferenciável
ao longo deste intervalo. Bem, vamos supor agora que
a gente vai pegar outros dois pontos. Este é outro ponto aqui,
que eu vou chamá-lo de "b" e este outro ponto aqui em "x = a". Então, nós temos dois pontos aqui,
em que aqui é "x = b", e aqui é "x = a". Vamos supor que eu queira calcular
a área abaixo da curva, neste intervalo que vai de "c" até "b". De acordo com o teorema
fundamental do cálculo, basta eu integrar a função f(t) no intervalo que vai de "c" a "x", certo? Mas vamos apenas escrever
essa informação aqui. Nós vamos ter essa função F(b) em que ela representa aqui para a gente a área abaixo da curva neste intervalo indo de "c" até "b". Vamos supor agora que eu também queira calcular a área abaixo da curva, no intervalo indo de "c" até "a". A gente vai querer dar o colar toda essa área aqui indo de "c" até "a", certo? Nós também vamos ter uma função
que representa essa área, que vai ser a função F(a). Agora, vamos supor que
a gente queira calcular a área que vai neste intervalo
aqui de "a" até "b". Bem, para calcular a área neste
intervalo que vai de "a" até "b", a gente não precisa estabelecer
uma outra função. Basta apenas fazer a diferença
entre a área de "b" com a área de "a". Porque se eu tenho a área de "b"
que corresponde a tudo isso aqui e eu tirar essa área que corresponde a este F(a), eu vou encontrar essa área restante,
que vai corresponder para a gente, à área abaixo da curva no intervalo de "a" até "b". Então, basta subtrair este F(b), que é a função que
representa a área de "b", menos F(a), que é a função que representa
para a gente a área de "a". Mas, como eu falei, pelo
teorema fundamental do cálculo, F(b) é igual à integral definida
indo de "c" até "b" da função f(t) dt. E F(a) é a integral definida
indo de "c" até "a" de f(t) dt. Bem, essa área aqui, então,
seria a diferença entre as duas áreas. A área "b", supondo que a área "b"
seja maior que a área "a", menos a área "a". Vai sobrar, então, apenas essa área menor. E para determinar essa área menor, utilizando a ideia da integral, basta calcular a integral definida desta função f(t) nos
limites de integração indo de "a" até "b". Então, esta área verde aqui, que corresponde a essa diferença,
também vai ser igual à integral definida,
indo de "a" até "b" de f(t) dt. Sendo assim, nós podemos dizer que essa integral aqui, definida, com os limites de integração
indo de "a" até "b" de f(t) dt, vai ser igual à diferença destas
funções que representam a área. Da função que representa a área para "b" menos a função que representa
a área em relação a esse este "a" aqui, de "c" até "a", neste intervalo
indo de "c" até "a". Em que F(b) representa
a área abaixo da curva, no intervalo indo de "c" até "b". E F(a) representa a área abaixo da curva
indo de "c" até "a". Mas o que seria este "F"? Este "F", conforme eu já
falei anteriormente, representa uma antiderivada de "f". Então, quando eu estou falando deste "F", eu estou dizendo que é uma
função que representa a área. Em termos do cálculo, a gente pode dizer que este "F" é uma antiderivada do "f". Então, a gente pode até escrever
essa informação aqui, que "F" é antiderivada de "f". Então, nós podemos até arrumar isto aqui e dizer que a integral definida
neste intervalo indo de "a" até "b", é essa área entre esses dois pontos conhecidos,
de f(t) dt, que a nossa função aqui y = f(t) vai ser igual à antiderivada
da função f(x) calculada no ponto "b", menos a antiderivada de f(x) calculada no ponto "a". Isto daqui, é um dos pontos mais
importantes da aula de cálculo. E, inclusive, essa relação é chamada de segundo
teorema fundamental do cálculo. E é muito importante que você saiba
o segundo teorema fundamental do cálculo, quando você estiver calculando
integrais definidas. Assim, fica muito mais fácil você
calcular uma integral definida em dois limites de integração, calculando apenas
a antiderivada da função e depois fazendo a diferença
do cálculo destas antiderivadas nestes dois pontos,
no ponto "b" e no ponto "a". Assim, a gente vai conseguir
chegar à resposta para essa integral definida. Então, lembre-se que
este é um dos pontos mais importantes que você precisa guardar aqui da aula de cálculo.