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Integral imprópria com dois limites infinitos

Transcrição de vídeo

aqui temos um gráfico de y igual a 250 / 25 mar x ao quadrado e neste vídeo estou curioso para saber qual é a do total em baixo da curva em cima do eixo x eu estou falando sobre tudo que estou pintando de branco ac incluindo o que nós não podemos ver se formos para a direita e se formos para a esquerda então estou falando de x o infinito negativo a tx no infinito mas nada como podemos nomear isso isso seria integral em própria nós chamamos essa área de integração indefinida de x igual ao infinito negativo até x é infinito da nossa função 250 sobre 25 mais x ou quadrado deixes nós já vimos integrassem próprias onde um dos nossos limites é infinito mas o que se faz quando você tem um limite é o infinito positivo num limite infinito negativo nosso cálculo limite para duas coisas distintas então lidaremos com isso dividindo essa área que descreve essa área aqui em azul do infinito negativa 0 isso será igual à integral imprópria que vai de infinitos negativo a 0 de 250 sobre 25 manches ao quadrado de x mas é integral em própria que vai de zero a um jeito positivo logo mais é integral imprópria ou definida de zero a inffinito positivo de 250 sobre 25 mais x ao quadrado de x agora começamos a entender isso o que temos em azul pode ser reescrito e isso é igual ao limite de entendendo a infinitas negativo da integral definida dn a 0 de 250 sobre 25 mais x ao quadrado deixes mais está acabando espaço aqui o limite já que eu já usei o iene deixe me usar a emi agora o limite de m tendo o infinito positivo da integral definida de zero a emi de 250 sobre 25 mais x ao quadrado de x agora tudo o que temos que fazer é calcular essas integrais definidas para isso temos apenas que determinada antes derivadas de 250 sobre 25 mais x ao quadrado vamos calcular isso eu vou escrever isso aqui do lado esquerdo nós temos que calcular antes derivados de 250 sobre 25 mais x ao quadrado deixe se você já pode estar pensando com a substituição o treinamento que pode ser útil você vê esse padrão de uma ao quadrado mais x ao quadrado sendo que neste caso a seria igual a 5 nós podemos fazer a substituição de x é igual a às vezes tangente de teta 5 tem gente detecta e como nós temos que fazer a substituição reversa depois nós também podemos colocar uma restrição determinamos que x sobre cinco é igual à tangente detecta o que é completamente consistente com essa primeira formação então se nós quisermos expressar teta como uma função de x podemos impor essa restrição de que o teto é igual ao arco tangente dx sobre si mas isso é consistente com isso aqui x pode ser cinco tangente de teto e teta pode ser igual ao arco tangente dx sobre cinco antes disso nós também temos que determinar a função de xx é igual a eu farei isso aqui é a derivada disse em relação ao atleta é cinco vezes atacante ao quadrado de teta detecta agora podemos substituir só na integral tudo isso aqui será igual a 250 vezes de x bom 250 vezes de x 250 vezes cinco vezes e cante ao quadrado de teta então isso é igual a 250 de x tudo isso sobre 25 mais x ao quadrado bom x ao quadrado será igual a 25 vezes à tangente ao quadrado e agora podemos tentar simplificar isso isso é igual a 250 vezes cinco vezes e cante ao quadrado detecta sobre 25 vezes mas a tangente ao quadrado detecta detecta podemos simplificar 25 251 mais tangente ao quadrado detecta é igual às e cante ao quadrado de terra você pode provar isso você mesmo se você escrever à tangente ao quadrado de terra como sendo ao quadrado de terra sobre o cosseno ao quadrado de teto adicione 1 o que é o mesmo que conseguiu enquadrar de teto sobre você na quadra de teta então você pode usar identidades trigonométricas básicas para ver que isso é igual às e cante ao quadrado de teta o que simplifica um pouco a nossa expressão você obtenha essa cantiga quadrado de terra sobre secante ao quadrado de terra que é igual a um e então você fica com dez vezes 5 50 detecta isso é igual a 50 vou retirar 50 para fora da integral 50 de teto que é igual a 50 vezes teto podemos adicionar a constantes e somente para mostrar que essas são todas ante derivadas mas nós só precisamos diante da elevada mais básica para avaliar essas integrais definidas mas agora nós só temos em função de teta vamos escrever isso em função de x nós definimos a restrição de que o teto é igual a otan gente x sobre cinco isso então é igual a 50 vezes ao arco tangente dx sobre cinco mas se essas são todas as antes derivadas podemos definir se como 10 para encontrar um antídoto levada para essas expressões para determinadas integrais definidas façamos isso então o que temos em azul podemos escrever como limite de m entendendo o infinito negativo diante da elevada disso ou uma anti levada disso aqui que podemos escrever como 50 vezes o arco tangente de ti sobre sim e nós iremos calcular isso em zero e eni ea isso adicionamos o limite de m entendendo o infinito positivo somente dante derivada de 50 vezes arco tangente dx sobre 5 50 vezes a gente sobre cinco calculado de 0 à m deixe me colocar parênteses ao redor de che sobre cinco e qual será o resultado disso isso será 50 deixe me escrever isso isso será o limite gnt no infinito negativo de 50 vezes o ar tangente de 0 sobre cinco menos 50 vezes o arco tangente dn sobre cinco ea isso adicionaremos vou usar um pouco mais de espaço no limite de m atendendo ao infinito de 50 vezes arco tangente dm sobre cinco menos 50 vezes arco tangente menos 50 vezes arco tangente de 0 sobre cinco agora podemos calcular isso para nos ajudar a calcular consideremos um círculo unitário consideremos um círculo unitário para que possamos visualizar a função arco tangente uma maneira de pensar sobre a tangente é como a inclinação da linha que está em um determinado ângulo ou melhor que ajuda a definir o limite do ângulo por exemplo se tivermos um ângulo que parece a isso esse é um ângulo entre o eixo x positivo e esta link se tivermos um ângulo assim à tangente do angu ser a inclinação dessa linha então podemos ver isso como ok se eu quero arco tem gente de zero trazemos uma linha que tem uma inclinação igual a zero bom um ângulo onde o lado limite tem inclinação igual a zero é o ângulo 0 então o arco tangente de zero é zero radian anos logo isso será igual a 50 vezes 0 o que será somente 0 e podemos escrever isso também isso será igual a zero o que sobrou foi o limite de e nintendo infinitos negativo de menos 50 vezes arco tangente dn sobre cinco mais o limite de m atendendo ao infinito positivo de 50 vezes arco tangente de m sobre cinco pensemos agora sobre qual será o resultado disso este limite de entender o infinito podemos ver isso como limite quando a inclinação desse lado limites se aproxima do infinito negativo e se torna cada vez mais negativo cada vez mais negativa agora está em infinitos negativa ou está se aproximando de um infinito negativo quando o ângulo é de menos pis sobre dois red anos ou você pode dizer que o limite do arco tangente dn sobre 5 quando n tende ao infinito negativo esta parte aqui irá se aproximar quando entende o infinito negativo será igual a menos sobre dois e então iremos multiplicar isso meses - 50 isso será menos 50 vezes - e sobre dois que é igual a 25 pe logo isso é igual a 25 p da mesma maneira arco tangente d m sobre 5 quando emitem de infinito inclinação do lado limite do ângulo que se aproxima do infinito logo a inclinação fica cada vez maior ela se aproxima do infinito quando lado se aproxima do eixo vertical logo arco tangente d m sobre 5 quando emitem de infinitos será igual ap sobre dois esse é o ângulo de pi sobre dois nós vemos em laranja aqui que isso é igual a 50 vezes pi sobre dois que é igual a 25 vezes p logo a área que temos em azul voltando ao problema original é 25 vezes p a área em laranja é igual a 25 vezes pi e responder à nossa pergunta original qual é a área total sobre a curva que é uma pergunta legal para responder teremos 25 vezes pi mais 25 vezes pi que vale 50 pi e terminamos