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Cálculo integral
Introdução a integrais impróprias
Integrais impróprias são integrais definidas em que um ou ambos os limites estão no infinito, ou em que o integrando tem uma assíntota vertical no intervalo de integração. Por mais estranho que isso possa parecer, nós de fato podemos calcular algumas integrais impróprias usando alguns métodos inteligentes que envolvem limites. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - O que eu quero desvendar,
neste vídeo, é a área embaixo da curva "y = 1/x²", com "x" igual a 1
como nosso limite inferior. Não tem um limite superior, então mantendo ao infinito. É essencial que "x"
se aproxime ao infinito, assim, eu quero calcular
qual é essa área total. Uma maneira é indicar como
uma integral indefinida imprópria ou uma integral imprópria. Vamos simbolizar como
1 sendo o limite inferior, mas nós continuaremos até o infinito
como o nosso limite superior. Então, o limite superior infinito, vamos pegar a integral de 1 sobre x², dx. Para que fique claro,
isso aqui é uma integral imprópria. Agora, como podemos lidar com isso? Por definição, isso é o mesmo que o limite quando "n" se aproxima ao infinito, de uma integral de 1 até "n", e 1 sobre x². Então, 1 sobre x² dx. Isso é bom, porque nós sabemos
como calcular isso, apenas é preciso definir a integral onde a fronteira superior é "n". E assim saberemos como definir os limites. Podemos definir qual é o limite
quando "n" se aproxima ao infinito. Vamos descobrir se podemos
realmente estimar isso. Vamos usar aqui o segundo teorema
fundamental do cálculo. Mas antes vou reescrever
essa parte aqui do limite, então, essa parte, eu vou
escrever dessa forma. O limite de "n" se aproximando
ao infinito, de, vamos usar o segundo
teorema fundamental do cálculo. Então, ao estimar a antiderivada
de 1 sobre x² ou x⁻², portanto antiderivada de x⁻² é -x⁻¹. Isso seria a mesma coisa que -x⁻¹
ou -1 sobre "x". Portanto, -1 sobre "x"
é uma antiderivada. Agora, vamos calcular em "n"
e calcular em 1. Isso será igual ao limite
quando "n" se aproxima do infinito, então, vamos ver se nós
calculamos isso com "n". Teremos -1 sobre "n". A partir disso, nós vamos subtrair
o que calculamos utilizando 1. Então, será -1 sobre 1,
ou seja, -1. Essa parte aqui é igual a -1. Agora vamos encontrar o limite quando
"n" tende ao infinito para isso aqui. Essa parte aqui é igual a essa outra, ainda não encontrei o limite. Assim, isso será igual ao limite
quando "n" tende ao infinito, de, vamos ver, isso aqui é 1 positivo, podemos escrever -1 sobre "n",
de 1 menos 1 sobre "n". Para nossa sorte, esse limite
realmente existe. Então, no limite,
quando "n" se aproxima do infinito, esse termo estaria cada vez
mais próximo de zero. 1 sobre infinito, você pode
simplesmente ver como zero, então, isso será igual a 1,
o que é bem claro. Aqui temos essa área que não tem o limite, isso continua para sempre, mas continuamos a ter uma área finita. E essa área é exatamente igual a 1, então, nesse caso,
temos uma integral imprópria. Porque, na verdade, somos capazes
de calcular e encontrar o número que o limite realmente existiu. Dizemos que esta integral imprópria
é convergente, então se, por qualquer razão,
isso não tivesse limites, não poderíamos achar
algum número finito aqui. Se essa área é infinita,
podemos dizer que é divergente, então, aqui nós descobrimos
algo de forma clara. Essa área é exatamente igual a 1.