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Explorando a acumulação de variação

Integrais definidas são interpretadas como a acumulação de grandezas. Aprenda por que e como isso pode ser usado para analisar contextos do mundo real.
A integral definida pode ser usada para expressar informações sobre acumulação e variação líquida em contextos práticos. Vamos ver como é isso.

Pensando em acumulação em um contexto real

Digamos que um tanque estivesse enchendo de água a uma taxa constante de start color #11accd, 5, start text, space, L, slash, m, i, n, end text, end color #11accd (litros por minuto) por start color #ca337c, 6, start text, space, m, i, n, end text, end color #ca337c. Podemos encontrar o volume da água (em start text, L, end text) multiplicando o tempo pela taxa:
Volume=Tempo×Taxa=6min5Lmin=30minLmin=30L\begin{aligned} \text{Volume}&=\maroonD{\text{Tempo}}\times\blueD{\text{Taxa}} \\ &=\maroonD{6\,\text{min}}\cdot\blueD{5\,\dfrac{\text{L}}{\text{min}}} \\ &=30\dfrac{\cancel{\text{min}}\cdot\text{L}}{\cancel{\text{min}}} \\ &=30\,\text{L} \end{aligned}
Agora considere esse caso graficamente. A taxa pode ser representada pela função constante r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5:
A função r 1 está representada graficamente. O tempo em minutos é mostrado no eixo x, de 0 até 10. A taxa, em litros por minuto, é mostrada no eixo y. O gráfico é uma reta. A reta começa em (0, 5), estende-se horizontalmente para a direita e termina em (10, 5).
Cada unidade horizontal no gráfico é medida em minutos e cada unidade vertical é medida em litros por minuto, portanto a área de cada unidade quadrada é medida em litros:
start underbrace, start text, m, i, n, end text, end underbrace, start subscript, start text, l, a, r, g, u, r, a, end text, end subscript, dot, start underbrace, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, m, i, n, end text, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end subscript, equals, start underbrace, start text, L, end text, end underbrace, start subscript, start text, a, with, \', on top, r, e, a, end text, end subscript
Um quadrado representa uma unidade em um gráfico. A largura horizontal representa minutos e a altura vertical representa litros por minuto. A área no interior representa litros. A equação para calcular a área é largura vezes altura = área, ou minutos vezes litros por minuto = litros.
Além disso, a área do retângulo delimitado pelo gráfico de r, start subscript, 1, end subscript e o eixo horizontal entre t, equals, 0 e t, equals, 6 nos dá o volume de água depois de 6 minutos:
A função r 1 está representada graficamente. Uma área retangular sob a reta está destacada. A área vai de 0 a 6 minutos e de 0 a 5 litros por minuto . A área do retângulo é calculada como 6 minutos vezes 5 litros por minuto = 30 litros.
Agora, digamos que um outro tanque estivesse enchendo, mas dessa vez a uma taxa não constante:
r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 6, s, e, n, left parenthesis, 0, comma, 3, t, right parenthesis
A função r 2 está representada graficamente. O tempo em minutos é mostrado no eixo x, de 0 até 10. A taxa, em litros por minuto, é mostrada no eixo y. O gráfico é uma curva. A curva começa em (0, 0), move-se para cima com concavidade para baixo até aproximadamente (5,2; 6), move-se para baixo com concavidade para baixo e termina em aproximadamente (10; 0,8).
Como podemos saber o volume de água neste tanque depois de 6 minutos? Para fazer isso, vamos pensar sobre a aproximação da soma de Riemann da área sob esta curva entre t, equals, 0 e t, equals, 6. Por conveniência, vamos usar uma aproximação em que cada retângulo tenha 1 minuto de largura.
A função anterior, r 2, está representada graficamente. Seis barras retangulares, cada uma com 1 unidade, ou 1 minuto, de largura se erguem verticalmente do eixo horizontal até a curva de 0 a 6 minutos. Cada barra se ergue de forma que seu vértice superior direito toque a curva. O vértice superior esquerdo dos cinco retângulos de 0 a 5 está fora da curva. Cada retângulo tem uma parte menor fora da curva em comparação ao anterior. O sexto está completamente dentro da curva. Da esquerda para a direita, os retângulos têm as seguintes alturas aproximadas: 1,8, 3,4, 4,7, 5,6, 6, 5,9.
Vimos como cada retângulo representa um volume em litros. Especificamente, cada retângulo nesta soma de Riemann é uma aproximação do volume de água que foi adicionada ao tanque por minuto. Quando somamos todas as áreas, isto é, quando todos os volumes são acumulados, obtemos uma aproximação do volume total de água depois de 6 minutos.
À medida que usarmos mais retângulos com larguras menores, obteremos uma aproximação melhor. Se levarmos isso a um limite de acúmulo de retângulos infinitos, obteremos a integral definida integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Isso significa que o exato volume de água, depois de 6 minutos, é igual à área delimitada pelo gráfico de r, start subscript, 2, end subscript e o eixo horizontal entre t, equals, 0 e t, equals, 6.
A função r 2 está representada graficamente. A área entre a curva e o eixo t, entre t = 1 e t = 6, está em destaque.
Sendo assim, o cálculo integral nos permite encontrar o volume total após 6 minutos:
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, L, end text

A integral definida da taxa de variação de uma grandeza fornece a variação líquida dessa grandeza.

No exemplo que vimos, tínhamos uma função que descrevia uma taxa. Em nosso caso, foi a taxa de volume ao longo do tempo. A integral definida daquela função nos deu a acumulação do volume, a grandeza cuja taxa foi dada.
Outra característica importante aqui foi o intervalo de tempo da integral definida. No nosso caso, o intervalo de tempo foi o começo left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis e 6 minutos depois em left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis. Então, a integral definida nos deu a variação líquida na quantidade de água no tanque entre t, equals, 0 e t, equals, 6.
Essas são as duas maneiras como normalmente pensamos sobre integrais definidas: elas descrevem uma acumulação de uma grandeza, de forma que a integral definida inteira nos dá a variação líquida dessa grandeza.

Porque "variação líquida" na grandeza e não simplesmente a grandeza?

Usando o exemplo acima, note que não sabemos se havia água no tanque antes de t, equals, 0. Se o tanque estava vazio, então integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, L, end text é realmente a quantidade de água no tanque após 6 minutos. Mas se o tanque já continha água, digamos, 7 litros de água, então o volume atual de água no tanque após 6 minutos é:
start underbrace, 7, end underbrace, start subscript, start text, v, o, l, u, m, e, space, e, m, space, end text, t, equals, 0, end subscript, plus, start overbrace, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end overbrace, start superscript, start text, m, u, d, a, n, ç, a, space, n, o, space, v, o, l, u, m, e, space, d, e, space, end text, t, equals, 0, start text, space, a, space, end text, t, equals, 6, end superscript
Isso é aproximadamente 7, plus, 24, comma, 5, equals, 31, comma, 5, start text, space, L, end text.
Lembre-se: a integral definida sempre nos dá a variação líquida de uma grandeza, não o valor atual da grandeza. Para encontrar o valor atual, devemos adicionar uma condição inicial à integral definida.
Problema 1.A
O conjunto de problemas 1 vai guiá-lo pelo processo de analisar um contexto que envolve acumulação:
No instante t, uma população de bactérias cresce a uma taxa de r, left parenthesis, t, right parenthesis gramas por dia, em que t é medido em dias.
A função r está representada graficamente. O tempo em dias é mostrado no eixo x, de 0 até 10. A taxa de crescimento, em gramas por dia, é mostrada do eixo y. O gráfico é uma curva. A curva começa em (0, 1), se move para cima com concavidade para cima passando por (8, 5) e termina aproximadamente em (10; 7,3). A área entre a curva e o eixo x, entre t = 0 e t = 8, está sombreada.
Qual são as unidades da grandeza representada pela integral definida integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
Escolha 1 resposta:
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Erro comum: usar unidades inapropriadas

Como em todos os problemas aplicados, as unidades desempenham um papel importante aqui. Lembre-se que se r é uma função de taxa medida em start fraction, start color #11accd, start text, G, r, a, n, d, e, z, a, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, G, r, a, n, d, e, z, a, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction, então sua integral definida é medida em start color #11accd, start text, G, r, a, n, d, e, z, a, space, A, end text, end color #11accd.
Por exemplo, no problema 1, r foi medida em start fraction, start color #11accd, start text, g, r, a, m, a, s, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, d, i, a, end text, end color #ca337c, end fraction, portanto a integral definida de r foi medida em start color #11accd, start text, g, r, a, m, a, s, end text, end color #11accd.
Problema 2
Éder caminhou a uma taxa de r, left parenthesis, t, right parenthesis quilômetros por hora (em que t é o tempo em horas).
O que significa integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 6?
Escolha 1 resposta:
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Erro comum: interpretar o intervalo de integração incorretamente

Para qualquer função de taxa r, a integral definida integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t descreve a acumulação de valores entre t, equals, a e t, equals, b.
Um erro comum é desconsiderar um dos limites (geralmente o inferior), o que resulta em uma interpretação errada.
Por exemplo, no problema 2, seria um erro interpretar integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t como a distância que Éder caminhou em 3 horas. O limite inferior é 2, logo integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t é a distância que Éder caminhou entre a 2, start superscript, start text, a, end text, end superscript hora e a 3, start superscript, start text, a, end text, end superscript hora. Além disso, em casos como esse, em que o intervalo de tempo é de exatamente uma unidade, costumamos dizer "durante a 3, start superscript, start text, a, end text, end superscript hora."
Problema 3
A receita de Júlia é de r, left parenthesis, t, right parenthesis mil reais por mês (em que t é o mês do ano). Júlia havia faturado 3 mil reais no primeiro mês do ano.
O que significa 3, plus, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 19?
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Erro comum: ignorar as condições iniciais

Para uma função de taxa f e uma primitiva F, a integral definida integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t nos dá a variação líquida em F entre t, equals, a e t, equals, b. Se adicionarmos uma condição inicial, vamos obter um valor atual de F.
Por exemplo, no problema 3, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t representa a mudança na quantia de dinheiro que Júlia ganhou entre o 1, start superscript, start text, o, end text, end superscript e o 5, start superscript, start text, o, end text, end superscript mês. Mas, como adicionamos 3, que é a quantia que Júlia tinha no 1, start superscript, start text, o, end text, end superscript mês, a expressão agora representa a quantia atual no 5, start superscript, start text, o, end text, end superscript mês.

Conexão com taxas de variação aplicadas

No cálculo diferencial, aprendemos que a derivada f, prime de uma função f dá a taxa de variação instantânea de f para um determinado valor. Agora estamos indo na direção contrária! Para qualquer função de taxa f, sua primitiva F dá o valor acumulado da quantidade cuja taxa é descrita por f.
GrandezaTaxa
Cálculo Diferencialf, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Cálculo integralF, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, tf, left parenthesis, x, right parenthesis
Problema 4
A função k, left parenthesis, t, right parenthesis nos dá a quantidade de ketchup (em quilogramas) produzido em uma fábrica de molho no instante t (em horas) de determinado dia.
O que integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 4, end superscript, k, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t representa?
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  • Avatar blobby green style do usuário eduardoestudo123
    Pq que a integral é a "antiderivada"?
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    • Avatar starky sapling style do usuário Fernanda Fortes
      Porque antes de você usar os intervalos X e A para saber o valor atual(variação), primeiro deve fazer o oposto da derivação(desderivar), o valor dado na Integral, ex: f(t=3), 3 já é o valor derivado, então volto para o valor que era antes de derivar: 3x ai usar os X e A, ex X= 0 e A=2: 3(2) -3(0)=6.
      (2 votos)
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