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Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidade 1
Lição 1: Introdução aos acúmulos de variaçãoExplorando a acumulação de variação
Integrais definidas são interpretadas como a acumulação de grandezas. Aprenda por que e como isso pode ser usado para analisar contextos do mundo real.
A integral definida pode ser usada para expressar informações sobre acumulação e variação líquida em contextos práticos. Vamos ver como é isso.
Pensando em acumulação em um contexto real
Digamos que um tanque estivesse enchendo de água a uma taxa constante de start color #11accd, 5, start text, space, L, slash, m, i, n, end text, end color #11accd (litros por minuto) por start color #ca337c, 6, start text, space, m, i, n, end text, end color #ca337c. Podemos encontrar o volume da água (em start text, L, end text) multiplicando o tempo pela taxa:
Agora considere esse caso graficamente. A taxa pode ser representada pela função constante r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5:
Cada unidade horizontal no gráfico é medida em minutos e cada unidade vertical é medida em litros por minuto, portanto a área de cada unidade quadrada é medida em litros:
Além disso, a área do retângulo delimitado pelo gráfico de r, start subscript, 1, end subscript e o eixo horizontal entre t, equals, 0 e t, equals, 6 nos dá o volume de água depois de 6 minutos:
Agora, digamos que um outro tanque estivesse enchendo, mas dessa vez a uma taxa não constante:
Como podemos saber o volume de água neste tanque depois de 6 minutos? Para fazer isso, vamos pensar sobre a aproximação da soma de Riemann da área sob esta curva entre t, equals, 0 e t, equals, 6. Por conveniência, vamos usar uma aproximação em que cada retângulo tenha 1 minuto de largura.
Vimos como cada retângulo representa um volume em litros. Especificamente, cada retângulo nesta soma de Riemann é uma aproximação do volume de água que foi adicionada ao tanque por minuto. Quando somamos todas as áreas, isto é, quando todos os volumes são acumulados, obtemos uma aproximação do volume total de água depois de 6 minutos.
À medida que usarmos mais retângulos com larguras menores, obteremos uma aproximação melhor. Se levarmos isso a um limite de acúmulo de retângulos infinitos, obteremos a integral definida integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Isso significa que o exato volume de água, depois de 6 minutos, é igual à área delimitada pelo gráfico de r, start subscript, 2, end subscript e o eixo horizontal entre t, equals, 0 e t, equals, 6.
Sendo assim, o cálculo integral nos permite encontrar o volume total após 6 minutos:
A integral definida da taxa de variação de uma grandeza fornece a variação líquida dessa grandeza.
No exemplo que vimos, tínhamos uma função que descrevia uma taxa. Em nosso caso, foi a taxa de volume ao longo do tempo. A integral definida daquela função nos deu a acumulação do volume, a grandeza cuja taxa foi dada.
Outra característica importante aqui foi o intervalo de tempo da integral definida. No nosso caso, o intervalo de tempo foi o começo left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis e 6 minutos depois em left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis. Então, a integral definida nos deu a variação líquida na quantidade de água no tanque entre t, equals, 0 e t, equals, 6.
Essas são as duas maneiras como normalmente pensamos sobre integrais definidas: elas descrevem uma acumulação de uma grandeza, de forma que a integral definida inteira nos dá a variação líquida dessa grandeza.
Porque "variação líquida" na grandeza e não simplesmente a grandeza?
Usando o exemplo acima, note que não sabemos se havia água no tanque antes de t, equals, 0. Se o tanque estava vazio, então integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, L, end text é realmente a quantidade de água no tanque após 6 minutos. Mas se o tanque já continha água, digamos, 7 litros de água, então o volume atual de água no tanque após 6 minutos é:
Isso é aproximadamente 7, plus, 24, comma, 5, equals, 31, comma, 5, start text, space, L, end text.
Lembre-se: a integral definida sempre nos dá a variação líquida de uma grandeza, não o valor atual da grandeza. Para encontrar o valor atual, devemos adicionar uma condição inicial à integral definida.
Erro comum: usar unidades inapropriadas
Como em todos os problemas aplicados, as unidades desempenham um papel importante aqui. Lembre-se que se r é uma função de taxa medida em start fraction, start color #11accd, start text, G, r, a, n, d, e, z, a, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, G, r, a, n, d, e, z, a, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction, então sua integral definida é medida em start color #11accd, start text, G, r, a, n, d, e, z, a, space, A, end text, end color #11accd.
Por exemplo, no problema 1, r foi medida em start fraction, start color #11accd, start text, g, r, a, m, a, s, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, d, i, a, end text, end color #ca337c, end fraction, portanto a integral definida de r foi medida em start color #11accd, start text, g, r, a, m, a, s, end text, end color #11accd.
Erro comum: interpretar o intervalo de integração incorretamente
Para qualquer função de taxa r, a integral definida integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t descreve a acumulação de valores entre t, equals, a e t, equals, b.
Um erro comum é desconsiderar um dos limites (geralmente o inferior), o que resulta em uma interpretação errada.
Por exemplo, no problema 2, seria um erro interpretar integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t como a distância que Éder caminhou em 3 horas. O limite inferior é 2, logo integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t é a distância que Éder caminhou entre a 2, start superscript, start text, a, end text, end superscript hora e a 3, start superscript, start text, a, end text, end superscript hora. Além disso, em casos como esse, em que o intervalo de tempo é de exatamente uma unidade, costumamos dizer "durante a 3, start superscript, start text, a, end text, end superscript hora."
Erro comum: ignorar as condições iniciais
Para uma função de taxa f e uma primitiva F, a integral definida integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t nos dá a variação líquida em F entre t, equals, a e t, equals, b. Se adicionarmos uma condição inicial, vamos obter um valor atual de F.
Por exemplo, no problema 3, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t representa a mudança na quantia de dinheiro que Júlia ganhou entre o 1, start superscript, start text, o, end text, end superscript e o 5, start superscript, start text, o, end text, end superscript mês. Mas, como adicionamos 3, que é a quantia que Júlia tinha no 1, start superscript, start text, o, end text, end superscript mês, a expressão agora representa a quantia atual no 5, start superscript, start text, o, end text, end superscript mês.
Conexão com taxas de variação aplicadas
No cálculo diferencial, aprendemos que a derivada f, prime de uma função f dá a taxa de variação instantânea de f para um determinado valor. Agora estamos indo na direção contrária! Para qualquer função de taxa f, sua primitiva F dá o valor acumulado da quantidade cuja taxa é descrita por f.
Grandeza | Taxa | |
---|---|---|
Cálculo Diferencial | f, left parenthesis, x, right parenthesis | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis |
Cálculo integral | F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
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- Pq que a integral é a "antiderivada"?(4 votos)
- Porque antes de você usar os intervalos X e A para saber o valor atual(variação), primeiro deve fazer o oposto da derivação(desderivar), o valor dado na Integral, ex: f(t=3), 3 já é o valor derivado, então volto para o valor que era antes de derivar: 3x ai usar os X e A, ex X= 0 e A=2: 3(2) -3(0)=6.(6 votos)
- Deus meu Deus meu, por que me desamparaste?(5 votos)
- qual é o conceito formal de primitiva?(1 voto)