Pq que a integral é a "antiderivada"?

Porque antes de você usar os intervalos X e A para saber o valor atual(variação), primeiro deve fazer o oposto da derivação(desderivar), o valor dado na Integral, ex: f(t=3), 3 já é o valor derivado, então volto para o valor que era antes de derivar: 3x ai usar os X e A, ex X= 0 e A=2: 3(2) -3(0)=6.

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Curso: Cálculo integral > Unidade 1

Lição 1: Introdução aos acúmulos de variação

Explorando a acumulação de variação

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Integrais definidas são interpretadas como a acumulação de grandezas. Aprenda por que e como isso pode ser usado para analisar contextos do mundo real.

A integral definida pode ser usada para expressar informações sobre acumulação e variação líquida em contextos práticos. Vamos ver como é isso.

Pensando em acumulação em um contexto real

Digamos que um tanque estivesse enchendo de água a uma taxa constante de

5 L/min

(litros por minuto) por

6 min

. Podemos encontrar o volume da água (em

L

) multiplicando o tempo pela taxa:

\begin{aligned} Volume & = Tempo \times Taxa \\ = 6 min \cdot 5 \frac{L}{min} \\ = 30 \frac{min \cdot L}{min} \\ = 30 L \end{aligned}

Agora considere esse caso graficamente. A taxa pode ser representada pela função constante

r_{1} (t) = 5

Cada unidade horizontal no gráfico é medida em minutos e cada unidade vertical é medida em litros por minuto, portanto a área de cada unidade quadrada é medida em litros:

Além disso, a área do retângulo delimitado pelo gráfico de

r_{1}

e o eixo horizontal entre

t = 0

t = 6

nos dá o volume de água depois de

6

minutos:

Agora, digamos que um outro tanque estivesse enchendo, mas dessa vez a uma taxa não constante:

Como podemos saber o volume de água neste tanque depois de

6

minutos? Para fazer isso, vamos pensar sobre a aproximação da soma de Riemann da área sob esta curva entre

t = 0

t = 6

. Por conveniência, vamos usar uma aproximação em que cada retângulo tenha

1

minuto de largura.

Vimos como cada retângulo representa um volume em litros. Especificamente, cada retângulo nesta soma de Riemann é uma aproximação do volume de água que foi adicionada ao tanque por minuto. Quando somamos todas as áreas, isto é, quando todos os volumes são acumulados, obtemos uma aproximação do volume total de água depois de

6

minutos.

À medida que usarmos mais retângulos com larguras menores, obteremos uma aproximação melhor. Se levarmos isso a um limite de acúmulo de retângulos infinitos, obteremos a integral definida

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t

. Isso significa que o exato volume de água, depois de

6

minutos, é igual à área delimitada pelo gráfico de

r_{2}

e o eixo horizontal entre

t = 0

t = 6

Sendo assim, o cálculo integral nos permite encontrar o volume total após

6

minutos:

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t \approx 24, 5 L

A integral definida da taxa de variação de uma grandeza fornece a variação líquida dessa grandeza.

No exemplo que vimos, tínhamos uma função que descrevia uma taxa. Em nosso caso, foi a taxa de volume ao longo do tempo. A integral definida daquela função nos deu a acumulação do volume, a grandeza cuja taxa foi dada.

Outra característica importante aqui foi o intervalo de tempo da integral definida. No nosso caso, o intervalo de tempo foi o começo

(t = 0)

6

minutos depois em

(t = 6)

. Então, a integral definida nos deu a variação líquida na quantidade de água no tanque entre

t = 0

t = 6

Essas são as duas maneiras como normalmente pensamos sobre integrais definidas: elas descrevem uma acumulação de uma grandeza, de forma que a integral definida inteira nos dá a variação líquida dessa grandeza.

Porque "variação líquida" na grandeza e não simplesmente a grandeza?

Usando o exemplo acima, note que não sabemos se havia água no tanque antes de

t = 0

. Se o tanque estava vazio, então

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t \approx 24, 5 L

é realmente a quantidade de água no tanque após

6

minutos. Mas se o tanque já continha água, digamos,

7

litros de água, então o volume atual de água no tanque após

6

minutos é:

\underset{volume em t = 0}{\underset{⏟}{7}} + \overset{mudança no volume de t = 0 a t = 6}{\overset{⏞}{\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t}}

Isso é aproximadamente

7 + 24, 5 = 31, 5 L

Lembre-se: a integral definida sempre nos dá a variação líquida de uma grandeza, não o valor atual da grandeza. Para encontrar o valor atual, devemos adicionar uma condição inicial à integral definida.

Problema 1.A

O conjunto de problemas 1 vai guiá-lo pelo processo de analisar um contexto que envolve acumulação:

No instante

t

, uma população de bactérias cresce a uma taxa de

r (t)

gramas por dia, em que

t

é medido em dias.

Qual são as unidades da grandeza representada pela integral definida $\int_{0}^{8} r (t) d t$ ‍?

Erro comum: usar unidades inapropriadas

Como em todos os problemas aplicados, as unidades desempenham um papel importante aqui. Lembre-se que se

r

é uma função de taxa medida em

\frac{Grandeza A}{Grandeza B}

, então sua integral definida é medida em

Grandeza A

Por exemplo, no problema 1,

r

foi medida em

\frac{gramas}{dia}

, portanto a integral definida de

r

foi medida em

gramas

Problema 2

Éder caminhou a uma taxa de

r (t)

quilômetros por hora (em que

t

é o tempo em horas).

O que significa $\int_{2}^{3} r (t) d t = 6$ ‍?

(Escolha A)
Éder caminhou $6$ ‍ quilômetros a cada hora.
(Escolha B)
Éder caminhou $6$ ‍ quilômetros em $3$ ‍ horas.
(Escolha C)
Éder caminhou $6$ ‍ quilômetros durante a terceira hora.
(Escolha D)
A taxa de Éder aumentou em $6$ ‍ quilômetros por hora entre as horas $2$ ‍ e $3$ ‍.

Erro comum: interpretar o intervalo de integração incorretamente

Para qualquer função de taxa

r

, a integral definida

\int_{a}^{b} r (t) d t

descreve a acumulação de valores entre $t = a$ ‍ e $t = b$ ‍.

Um erro comum é desconsiderar um dos limites (geralmente o inferior), o que resulta em uma interpretação errada.

Por exemplo, no problema 2, seria um erro interpretar

\int_{2}^{3} r (t) d t

como a distância que Éder caminhou em

3

horas. O limite inferior é

2

, logo

\int_{2}^{3} r (t) d t

é a distância que Éder caminhou entre a

2^{a}

hora e a

3^{a}

hora. Além disso, em casos como esse, em que o intervalo de tempo é de exatamente uma unidade, costumamos dizer "durante a

3^{a}

hora."

Problema 3

A receita de Júlia é de

r (t)

mil reais por mês (em que

t

é o mês do ano). Júlia havia faturado

3

mil reais no primeiro mês do ano.

O que significa $3 + \int_{1}^{5} r (t) d t = 19$ ‍?

(Escolha A)
Júlia faturou $19$ ‍ mil reais a mais entre os meses $1$ ‍ e $5$ ‍.
(Escolha B)
Júlia faturou uma média de $19$ ‍ mil dólares por mês.
(Escolha C)
Júlia faturou $19$ ‍ mil reais no quinto mês.
(Escolha D)
No final do quinto mês, Júlia havia faturado um total de $19$ ‍ mil reais.

Erro comum: ignorar as condições iniciais

Para uma função de taxa

f

e uma primitiva

F

, a integral definida

\int_{a}^{b} f (t) d t

nos dá a variação líquida em

F

entre

t = a

t = b

. Se adicionarmos uma condição inicial, vamos obter um valor atual de

F

Por exemplo, no problema 3,

\int_{1}^{5} r (t) d t

representa a mudança na quantia de dinheiro que Júlia ganhou entre o

1^{o}

e o

5^{o}

mês. Mas, como adicionamos

3

, que é a quantia que Júlia tinha no

1^{o}

mês, a expressão agora representa a quantia atual no

5^{o}

mês.

Conexão com taxas de variação aplicadas

No cálculo diferencial, aprendemos que a derivada

f^{'}

de uma função

f

dá a taxa de variação instantânea de

f

para um determinado valor. Agora estamos indo na direção contrária! Para qualquer função de taxa

f

, sua primitiva

F

dá o valor acumulado da quantidade cuja taxa é descrita por

f

	Grandeza	Taxa
Cálculo Diferencial	$f (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍
Cálculo integral	$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ‍	$f (x)$ ‍

Problema 4

A função

k (t)

nos dá a quantidade de ketchup (em quilogramas) produzido em uma fábrica de molho no instante

t

(em horas) de determinado dia.

O que $\int_{0}^{4} k^{'} (t) d t$ ‍ representa?

(Escolha A)
A quantidade de ketchup produzida durante as primeiras $4$ ‍ horas.
(Escolha B)
A taxa instantânea de produção em $t = 4$ ‍.
(Escolha C)
O tempo que leva para produzir $4$ ‍ quilogramas de ketchup.
(Escolha D)
A taxa de variação média da produção de ketchup nas primeiras $4$ ‍ horas.

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eduardoestudo123
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Pq que a integral é a "an...” de eduardoestudo123
Pq que a integral é a "antiderivada"?
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- Fernanda Fortes
  Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Porque antes de você usar...” de Fernanda Fortes
  Porque antes de você usar os intervalos X e A para saber o valor atual(variação), primeiro deve fazer o oposto da derivação(desderivar), o valor dado na Integral, ex: f(t=3), 3 já é o valor derivado, então volto para o valor que era antes de derivar: 3x ai usar os X e A, ex X= 0 e A=2: 3(2) -3(0)=6.
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matvie37
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “Deus meu Deus meu, por qu...” de matvie37
Deus meu Deus meu, por que me desamparaste?
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Misguels
Publicado há há 9 meses. Link direto para a postagem “qual é o conceito formal ...” de Misguels
qual é o conceito formal de primitiva?
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