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Exemplo resolvido: acumulação de variação

Um exemplo que relaciona taxas de variação com uma banheira vazando. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - "Demorou 20 minutos antes de Pedro ter notado que sua banheira de hidromassagem tinha um vazamento. Uma vez que ele percebeu, ele abriu o dreno da banheira e o resto da água saiu em 40 minutos. A taxa a que a água é drenada da banheira quente, em litros por minuto, é mostrada abaixo. Quantos litros de água estavam na banheira de hidromassagem antes de começar a vazar?" Bem, ele notou depois de 20 minutos. Aqui era o total que tinha na banheira. Então, vamos pensar um pouco. Se você tem uma taxa de vazamento, uma taxa em que você está enchendo uma banheira, ou alguma coisa, e ela seja constante, se você tem aqui em litros por minuto e aqui você tem o tempo em minutos, ou seja, você tem uma taxa, e você tem um determinado intervalo de tempo que você quer saber o quanto ela vazou, basta você pegar esse intervalo de tempo, esse Δt, e multiplicar pela taxa de vazamento, ou de dreno, que a banheira está tendo. Mesmo que a taxa seja variada, ou seja, se você tiver uma taxa que esteja variando com o tempo, vamos supor que seja algo deste tipo, a maneira que você calcula a variação é mais ou menos da mesma forma, embora a figura geométrica seja diferente. Neste caso, nós temos um trapézio e pegaríamos o ponto médio do trapézio e multiplicaríamos pelo tempo. Então, a maneira que nós vamos calcular é: até ele ter notado, até esses 20 minutos, ou seja, esta área aqui. Depois que notou, ele abriu o dreno e a água começou a sair mais rapidamente. E depois, ela foi diminuindo a taxa em que ela foi saindo, talvez porque a pressão tenha se tornado menor ou qualquer coisa desse tipo. Mas vai ser a área de 20 minutos até 60 minutos. Ou seja, esta área, de zero até 20 minutos, estava vazando e ele não notou. Quando abriu o dreno, ele aumentou a taxa e ela vazou mais. Ou seja, esta área toda a gente pode dividir em duas áreas. Vamos dividir a área do triângulo e esta área que é de um retângulo. E vamos ver qual é a quantidade de água total que saiu da banheira. De zero a 20 minutos, nós temos a área deste triângulo, que é de 2 litros por minuto, vezes 20 minutos, vezes 1/2. Nós vamos ter, aqui, exatamente 20 litros. Esta parte aqui, basta calcular a área do retângulo, ou seja, de 20 para 60, nós temos 40 minutos. 40 minutos a 10 litros por minuto. Nós temos 10 litros a cada minuto, vezes 40 minutos, nós vamos ter 400 litros. E esta área, deste triângulo, nós temos 40 minutos (de 20 até 60) e variou, em litros por minuto, de 20 até 10. Portanto, a variação foi de 10 litros por minuto durante 40 minutos. Mas nós temos uma taxa variada, que é a taxa do triângulo, portanto, é metade da área do quadrado. Então, nós vamos ter 200 litros. O total de litros de água será 400 + 200 + 20, ou seja, 620 litros.